ラグランジュ関数を超わかりやすく

たびたび聞くラグランジュ関数を超わかりやすく教えてください。特に仕事に必要だと言うこともなく、興味本位の質問です。どこまでわかりやすく説明できるものなのかも知りたいです。
数学3Cまで履修しておりますが、文系大学卒なので数学力はかなり低いと思ってください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： First_Noel 回答日時： 2004/12/23 22:51

解析力学で言うところのラグランジアンのことでしょうか．

１０年以上前に習ったっきり全く使わないのですが．．．

ある物体の運動エネルギーをＴ，ポテンシャルエネルギーをＶとすると，
ラグランジアンＬは，Ｌ＝Ｔ－Ｖ，と定義されます．
（Ｈ＝Ｔ＋Ｖはハミルトニアンと呼び，全エネルギーと解釈出来ます．
　こちらは量子力学で，波動方程式のハミルトニアン演算子を生成する際用います．）

ラグランジアンはオイラー・ハミルトニアン方程式を満たし，
それによってニュートンの運動方程式を導出出来ます．
言い換えれば，ニュートンが体系付けたニュートン力学を，
数学的に組み立てなおしたものがラグランジアンやハミルトニアンで，
ニュートン力学に対して，「解析力学」と呼ばれる物理になります．

ラグランジアンは「最小作用の原理（変分原理）」を満たしており，
物体のある状態（ｘ１，ｐ１）から別の状態（ｘ２，ｐ２）へ遷移するとき，
自動的に最も近道となる経路が求まるようになっています．
（ｘは位置，ｐは運動量，ｘとｐの張る空間を位相空間とも呼びます．）
変分原理は，簡単に言えば，ゴムを両手で伸ばしたとき，
ゴムの形は右手と左手を結ぶ最短の距離，言い換えればゴムに蓄えられる
弾性エネルギーが最小となるようになります．
右手と左手が運動していれば，運動エネルギーも考慮して，エネルギーが最小と
なるような形状に落ち着きます．と言うようなことです．

例として，バネの振動を記述してみます．
おもりの位置をｘ，質量をｍ，バネ定数をｋとします．
速度は位置の一階時間微分なのでx'と書きます．
位置の２階時間微分は加速度でx''と書きます．
L = (1/2)mx'^2 - (1/2)kx^2
∂Ｌ／∂ｘ＝-kx
∂／∂ｔ（∂Ｌ／∂ｖ）＝∂／∂ｔ（mx'）＝mx''
∴mx''=-kx
となり，バネ系運動方程式が導けました．
この微分方程式を解けば，バネ系の運動が求まります．

このメリットは・・・あるのは間違いないのですが，私はそこまで極められませんでした．

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。とても興味深く拝見させて頂きました。ただ、私の脳ではついていけないことばかりです。これをヒントに自分でもっと調べてみたいと思います。とても参考になりました。

お礼日時：2005/01/01 14:20