極限をε‐δ論法で示してほしいです。

lim(x→0)sin(ax)/sin(bx)
の極限が、a/b　になることを示したいです。
ずっと考えましたが、うまくいきませんでした。
わかる方いらっしゃいましたら、よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  ε‐δ論法で示すことは勝手な憶測なので、もしかしたら違う方法があるのかもしれません。

    補足日時：2020/06/18 16:07

• ご回答ありがとうございます！
  私も、それはわかったのですが、、、、
  やはり、ε‐δ論法で示すのは無理ありますかね、、、？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2020/06/18 16:23

No.1 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/06/18 16:19

lim(x→0) sin(ax)/ax =1 ⇒　lim(x→0) sin(ax)/x =a

lim(x→0) sin(bx)/bx =1 ⇒　lim(x→0) sin(bx)/x =b
⇒
lim(x→0) sin(ax)/sin(bx)＝lim(x→0) {sin(ax)/x }/{sin(bx)/x}=a/b
じゃだめか？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
私も、それはわかったのですが、、、、
やはり、ε‐δ論法で示すのは無理ありますかね、、、？

お礼日時：2020/06/18 16:42

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/06/18 17:21

無理ではないが、無駄。

何のために
lim[x→a] f(x) = F, lim[x→a] g(x) = G ≠ 0 のとき lim[x→a] f(x)/g(x) = F/G
という定理があるのか。
この定理をε‐δ論法で示しておくことには意義があるが。
その場合も、直接 lim[x→a] f(x)/g(x) へ行くのではなくて、
lim[x→a] f(x) = F, lim[x→a] h(x) = H のとき lim[x→a] f(x)h(x) = FH
をε‐δ論法で示し、h(x) = 1/g(x) に適用したほうがよい。

lim[x→0] (sin ax)/(sin bx) = lim[x→0] (a/b){ (sin ax)/(ax) }/{ (sin bx)/(bx) }
に上記の定理を適用するにあたって
lim[x→0] (sin x)/x = 1 が必要になる。これは示しておくほうがいいだろう。
この極限は sin の定義と深く関わるので、どう計算すれば循環論法にならないかは
使用中の教科書で sin をどのように定義したかによって違ってくる。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2020/06/18 16:36

結局、積の極限や商の極限の定理をε‐δで証明するのと同じ手間がかかるから

とても現実的と言えない。