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「静止していた位置から距離sだけ移動したときの質点の速さ v」と区別するために、変数(時間の関数)としての速度を V と書きます。
運動方程式
F = ma = m*dV/dt
において
dV/dt = (dV/dx)(dx/dt) = V(dV/dx)
なので
F = mV*(dV/dx) ①
また、単位時間当たり P の仕事がなされるので、運動エネルギーの変化率が P となることから
P = d[(1/2)mV^2]/dt = mV*(dV/dt)
なので
P = FV ②
①②より
P = mV^2 *(dV/dx)
P は一定であるから、これを静止している位置から距離 s まで x:0→s で積分すると、速度は V:0→v に変化するので
∫[0→s]Pdx = ∫[0→s][mV^2 *(dV/dx)]dx = ∫[0→v][mV^2 ]dV
→ Ps = (1/3)mv^3
→ 3Ps = mv^3
出題者の意図としては上のようなことなのだと思いますが、v が「時間の関数」なのか「定数」なのか不明確に扱われているので、なんかわかりにくい問題になっていると思います。
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