2次元平面におけるばねの運動に関する問題

x-y平面の原点にばね定数 k のばねがつながれている。ばねの自然長は L で、ばねのもう一方の端には質量 m の質点がつながれている。

1.質点の位置を(x,y)としたとき、ばねが質点に及ぼす力 F のｘ成分とｙ成分を求めよ。

2.質点に対するx,y方向の運動方程式をそれぞれ記述せよ。

3.質点の運動方程式を極座標形式に書き換えよ。

4. 3.の運動方程式を解け。


という問題なのですが、困ったことに解答がありません。なので1.がどうしてもxとyであらわす方法が分からないので先に進めなくて困っています。わかる方がいましたらよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mychingoo 回答日時： 2010/01/18 15:55

　とりあえず問い１のみお答えします。

　Ｆｘ＝－ｋ（ｘ－Ｌｘ）　Ｆｙ＝－ｋ（ｙ－Ｌｙ）
　ばねが自然長の時ｘ＝Lｘ、ｙ＝Lｙです。
　Ｌｘ、Ｌｙはばねの自然長を表すＬもベクトルと考えてそのｘ成分とｙ成分です。Ｌ＾２＝（Ｌｘ）＾２＋（Ｌｙ）＾２です。ばねとｘ軸とのなす角をΘとしてそれぞれＬcosΘ、LsinΘと表すこともできますが、問い３で「極座標形式に書き換えよ」とあるのでこのようにしてみました。
　問い２以降頑張って下さい。
　

この回答へのお礼

問1の解答としては非常にしっくりきました。ありがとうございます。
おかげさまでテスト乗りきれました！またよろしくお願いします。

お礼日時：2010/01/28 23:19

No.2 回答者： IrGacria 回答日時： 2010/01/18 20:32

r = sqrt(x^2 + y^2) とします。

cosΘ = x/r , sinΘ = y/r
です。
質点は、原点の方向に F = k(L-r) の力で引き寄せられます。
この力をxy両方向に分解すれば
ベクトル F = (Fx, Fy) として
Fx = F cosΘ, Fy = F sinΘ
です。あとは三角関数とr を x,y で書き直して下さい。

（２）はすぐですよね。
（３）は極座標形式の加速度を知っていればすぐです。知らなければ、ちょっと大変。
（４）r方向成分と Θ方向成分の連立方程式をとけばOK。連立するほどでもないけど。

この回答へのお礼

極座標形式の加速度は知らなかったので、これが大変参考になりました。どうもありがとうございました。

お礼日時：2010/01/28 23:18