角の5等分の証明（180゜を1/5に折る折り方を理論的に説明したい！）

直角に等辺三角形を、図のように折ったら、青い部分の角が180゜の1/5になるのはどうしてかしら？
星形折りの時に使う10折りの方法です。
どなたか、できれば小学生にも分かるように教えていただけませんか？ 合同と三角形の内角の和が180゜くらいは使えます。
無理なら、中学生くらいまででよろしくお願いします。（ピタゴラスの定理はOKだけど、三角関数は使わないということで…）

No.2 ベストアンサー 回答者： m-jiro 回答日時： 2020/08/08 10:10

逆三角関数を使わないと説明できないように思います。

図にしたものを添付します。
三角形0PQはPQの長さが0.25、OPの長さが0.75になります。
すると、POQの角度は
　arctan(01.25/0.75)＝arctan(0.3333)＝18.43度
折り曲げる部分（添付図のQOR）の角度は　90度－18.43度＝71.56度
となります。
花びら１枚分の角度はこの半分なので35.78度になります。
正確に5等分した36度ではありませんが実用的には問題ないでしょう。

tan は角度から辺の長さの比を出しますが、逆に辺の長さの比から角度を出すのが arctan です。
tanの右上に小さく-1を書く場合が多いのですがここにはうまく書けないのでarctanと表現しました。

この回答へのお礼

正確に導き出していただきありがとうございます。
図も、とても分かりやすいです。
実際に折る場合は、かなり正確に折っても
紙の厚みの分この値以上の誤差が出ます。
実用的に問題がないことが分かり安心して使うことができます。
Facebookでも回答をお願いしているので、m-jiroさんの証明を紹介させてください。

お礼日時：2020/08/08 17:27

No.1 回答者： zongai 回答日時： 2020/08/08 10:03

添付画像のように、

直角を挟んで、1:3の辺を持つ三角形が見えてきます。

で、ごめんなさい、三角関数使います。
折り目の中心となっている細い角の角度は
辺の比より、1/3＝0.3333333
三角関数表（tan）より、

17° 0.305730681
18° 0.324919696
19° 0.344327613

で、概ね18°が近いかなというところ。（18.4°くらい）

写真の右半分の直角三角形において、今の18°を引いて
90°－18°＝72°
これが折られているので
72°÷2＝36°　（＝180°/5）

となります。

18°を求めた際におおよその角度となっていることでおわかりの通り、
質問で問われた角度はきっちり 180°/5 じゃないよ、
ということだけ取り合えず伝えたいなと思っての回答でした。


三角関数を使わない回答がつくことを私も期待したいです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ピッタリなら「証明できるよ。」と言ってあげたかったのですが、
逆に、正確に1/5でないことが分かりすっきりしました。

お礼日時：2020/08/08 17:26