平面図形 答えが合いません

ＢＣ＝５、ＡＢ＞ＡＣであるような△ＡＢＣがある
△ＡＢＣの外接円の点Ａにおける接線が直線ＢＣと交わる点をＤとすると、ＣＤ＝4である
（1）ＤＡの長さを求めよ
（2）∠ＡＣＢ＝２∠ＡＢＣのとき、ＡＢ、ＡＣの長さをそれぞれ求めよ
（3）直線ＡＤに平行で、辺ＡＢ、ＡＣと交わる直線を引き、交点をそれぞれＥ、Ｆとする。（2）のときＡＥ＝ｘとして、ＣＦの長さをｘで表せ
（4）3）において、ＡＥ＝ＣＦのときＥＦの長さを求めよ

この問題もうすでに２時間以上考えたんですが（2）すら解けません
（1）は図を描いて方べきの定理でＤＡ＝６とだせました
（2）は、グラフを書けばわかるんですが△ＡＢＤは∠ＢＡＤ＝９０°の直角三角形なので、三平方の定理からＡＢ＝３√５とでたんですが回答にはＡＢ＝６、ＡＣ＝４と書いてありました。
私のやり方が間違っているのでしょうか？
それとも回答が間違っているのでしょうか？

No.1 回答者： ht1914 回答日時： 2007/03/08 13:31

（１）は求まったのですね。

方べきの定理というのを使ったのですね。
この定理が成り立つことを証明できますか。
２つの三角形△ＤＡＢと△ＤＣＡが相似形になっています。辺の比の関係からＡＤ・ＡＤ＝ＤＢ・ＤＣですね。
相似形を確かめると∠ＤＡＣ＝∠ＤＢＡも分かりますね。
∠ＤＡＣ＋∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＢ＝２∠ＡＢＣですから∠ＤＡＣ＝∠ＡＤＣのになります。
△ＡＣＤは二等辺三角形です。△ＡＢＤも二等辺三角形になります。ＡＣ＝ＣＤ＝４です。ＡＢ＝ＡＤ＝６となります。
これで（２）が出来ました。△ＡＢＤは直角三角形ではありません。二等辺三角形です。
相似形をとことん利用していけば後の問題も分かると思います。

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/08 16:54

corum様

あまりにも強引なのできがひけます。
しかも（2）だけ
問題も消化出来てません。
計算もかなり面倒で、途中計算省略。

相似比よりＡＢ：ＡＣ＝３：２

ＡＢ＝３ｋ　　ＡＣ＝２ｋ　とおく
また∠ＡＣＢ＝２α　　∠ＡＢＣ＝α　とおく

余弦定理より
cos２α=(5-(k^2))/(4k)　　　　cosα=((k^2)+5)/(6k)

cos２α=2*((cosα)^2)-1 　　に代入

［(5-(k^2))/(4k)］＝２【［((k^2)+5)/(6k)］^2】-1　

これをかなり変形して４次方程式、因数定理２度適用して

（ｋ－１）（ｋ－２）（２＊（ｋ＾２）＋１５ｋ＋２５）＝０

ｋ＝１は無縁解　　２＊（ｋ＾２）＋１５ｋ＋２５＝Ｏの中に正の解なし

よって　ｋ＝２　　　即　ＡＢ＝６、　ＡＣ＝４

うーん　　こんなの　ありかな・・・・・・・

No.3 ベストアンサー 回答者： mirage70 回答日時： 2007/03/09 10:34

接線とは、円の中心と接点を結んだ線分と、接線のなす角が90°です。

#1で完璧に終わっていますが、#1に沿ってもう少し詳しく解説すると。

1)△ACD∽△BADであることを利用して、計算したものが方べきの定理
(∠CAD=∠ABDを証明する)。これにより、DAは求まります。

2)(∠CAD=∠ABDと）∠ＡＣＢ＝２∠ＡＢＣより、△ACD∽△BADであり、かつ、両三角形は、二等辺三角形であることがわかります。
これから直ぐに出てきます。

3)EFの延長と、BD上の交点をGとすると、△EBG∽△ABDより、
BE:AB=BG:BDより、BGを求め、CG=BG-BC次いで、
△CFG∽△CADであり、また、二等辺三角形より、CG=CF
このときに、CFが存在するためにx<=8/3を書いておいた方がよいのかな。

4)AE=CFよりxの値が求まります。
△BEGは二等辺三角形より、BE=BG,EF=EG-FGここでFGを求めます
3)にて、CFが求まっていますので、△CFG∽△CADより、
CF:AC=FG:ADこれから、FGが求まります。

尚、最初の、∠CAD=∠ABDがわからないときは、補足に書いてください。#1の方または、私が答えます。#1の方すみません。良い解答なので、かつてに解説させていただきました。