f(x)＝e^(3x)sinxのx＝0におけるテイラー展開を3次の項まで求める問題なのですが、テイラ

f(x)＝e^(3x)sinxのx＝0におけるテイラー展開を3次の項まで求める問題なのですが、テイラー展開についてあまり理解できませんでした。もしよろしければ解説、解答お願いします。

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2020/12/23 17:28

答えだけなら

e^(3x)sinx=x+3x^2+(13/3)x^3+･･･
になる。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2020/12/23 16:59

e^ と sin のマクローリン展開

e^z = 1 + z + (1/2)z^2 + (1/6)z^3 + ...
sin z = z - (1/6)z^3 + ...
は覚えている人も多いでしょう。
これを使って、
f(x) = { e^(3x) }{ sin x }
　　= { 1 + 3x + (1/2)(3x)^2 + (1/6)(3x)^3 + ... }{ x - (1/6)x^3 + ... }
　　= x + 3x^2 + (13/3)x^3 + ...
二段目の { } 内の　+ ...　の部分から生じる三段目の項はどれも 4次以上
ですからね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2020/12/23 14:18

テイラー展開の基本的な考え方は、こちらを見てみるとよい。

↓
https://www.ice.tohtech.ac.jp/nakagawa/taylorexp …

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2020/12/23 13:14

ｘ＝0ならマクローリン展開で調べたほうがわかりやすいかも。

1項めは　f(0)
2項めは　f'(0)x
3項めは　f''(0)x²/2！
4項めは　f'''(0)x³/3！　　この項が3次の項（ｘの3乗が登場する）

f'(x)=3e^(3x)sinx+e^(3x)cosx
f''(x)=9e^(3x)sinx+3e^(3x)cosx+3e^(3x)cosx-e^(3x)sinx
＝8e^(3x)sinx+6e^(3x)cosx
f'''(x)=24e^(3x)sinx+8e^(3x)cosx+18e^(3x)cosx-6e^(3x)sinx
=18e(3x)sinx+26e^(3x)cosx

f(0)=e^0・sin(0)＝0
f'(0)=0+1=1
f''(0)=6
f'''(0)=26
だから、
f(x)≃0+x+6x²/2+26x³/3！　（ｘが0に近い場合）

みたいなこと。
計算間違いあるかもしれないので、要チェック。