重積分を求める問題です。 cos(x+y)dxdy, D:x≧0,y≧0,x+y≦π 範囲の求め方が

重積分を求める問題です。
cos(x+y)dxdy, D:x≧0,y≧0,x+y≦π
範囲の求め方がよくわかりません。ヤコビアンとか置換積分を使えばいいと言われたのですがわかりにくかったのでもしよろしければ解説、解答の方をお願いしたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/01/05 18:59

z = x+y で置換積分したらいいんじゃない？

(x,y)→(x,z) のヤコビ行列が
　　∂x/∂x　　∂x/∂y
　　∂z/∂x　　∂z/∂y
=
　　1　　0
　　1　　1
だから、(x,z)→(x,y) のヤコビ行列は
その逆行列
　　1　　0
　　-1　　1
であり、ヤコビアン(ヤコビ行列の行列式)
の値は 1 になる。
よって、変数変換は dxdy = | 1 | dxdz.
これを使って、
∬[x≧0,y≧0,x+y≦π] cos(x+y) dxdy
= ∬[x≧0,z-x≧0,z≦π] (cos z) 1dxdz
= ∬[0≦x≦π-z,0≦z≦π] (cos z) dxdz
= ∫[0≦z≦π] ∫[0≦x≦π-z] (cos z) dx dz
= ∫[0≦z≦π] (cos z) ∫[0≦x≦π-z] dx dz
= ∫[0≦z≦π] (cos z) { (π-z) - 0 } dz
= ∫[0≦z≦π] (π-z)(cos z) dz
= [ (π-z)(sin z) ]_(z=0,π) - ∫[0≦z≦π] (-1)(sin z) dz
= { 0 - 0 } + ∫[0≦z≦π] (sin z) dz
= [ -cos z ]_(z=0,π)
= { (-1) - 1 }
= -2.

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2021/01/05 14:54

> ヤコビアンとか置換積分を使えば

そんなもん、使わない。ごく簡単な計算です。

[1] 被積分関数 cos(x+y)を、三角関数の加法定理を使って sin(x) とcos(x) だけの式にする。
[2] yは定数だと思って、xについて積分。積分範囲は0≦x≦π-y
[3] 結果を整理して sin(y) とcos(y) と 定数 だけの式にする。
[4] yについて積分。積分範囲は0≦y≦π