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ある消費者は鶏肉xgと馬肉ygの消費から、
2^-1.5x^0.5y0.5の効用を得る。
鶏肉は1g当たり20円、馬肉は1g当たり10円として、下の問いに答えよ。

1.この消費者が、最小限の費用で12.5の効用を得られる牛肉と豚肉の消費量の組合せを求めるためのラグランジュ関数を定義せよ。

この場合の解答は
L(λ,x,y)=2^-1.5x^0.5y^0.5+λ(12.5-20x-10y)
で合っているでしょうか?

もし間違っていれば教えてください!

A 回答 (15件中1~10件)

間違っています。

12.5は効用です。最小化するのは費用。

min C=20x+10y
s.t.
(2^-1.5) x ^0.5 y^0.5 = 12.5

という最小化問題をラグランジュ関数で表わすとどうなる?
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この回答へのお礼

すみません、、なにを求めているのかがわからないのですが

この問題文から費用が求められるんですか?

お礼日時:2021/06/23 10:57

>すみません、、なにを求めているのかがわからないのですが


この問題文から費用が求められるんですか?

min C=20x+10y              (*)
s.t.
(2^-1.5) x ^0.5 y^0.5 = 12.5       (**)

s.t.はsubject to の略で制約をあらわす。つまり、(**)の制約のもとで、(*)のC=20x+10yを最小化せよという、与えられた問題そのもの。つまり、効用を12.5に維持しながら、鶏肉と馬肉の合計費用が最小になるように鶏肉と馬肉の組(x,y)を選びなさい、という指示を意味している。あなたのLagrangianでは鶏肉と馬肉の費用合計を12.5円(?)に抑えて効用を最大化する鶏肉と馬肉の量の組(x,y)を選択せよという意味になってしまうでしょう!
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この回答へのお礼

いやそこは分かるんですけど、効用を12.5にするっていう情報だけで費用が求まるかどうかがわからないのです

お礼日時:2021/06/23 16:16

最小化だからわからないということ?最小化とはマイナスの目的関数を最大化することだから、


max -C= - 20x-10y
s.t.
(2^-1.5)x^0.5y^0.5=12.5
と同等。よってラグランジュ関数は

L=- 20x - 10y + λ(2^-1.5・x^0.5y^0.5 - 12.5)

で与えられる。1階の条件はLをx,y, λで微分してそれぞれ
0 = Lx = -20+λ[ 2^-1.5・0.5x^-0.5y^0.5]
0 = Ly = -10 + λ[2^-1.5・0.5x0.5y^-0.5]
0 = Lλ=2^-1.5・x^0.5y^0.5
で与えられる。これをx,y,λについて解いてごらん。
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前の回答の一階の条件です。

いろいろ数字が抜けたりしているので訂正です。

0 = Lx = -20+λ[ 2^-1.5・0.5x^-0.5y^0.5]
0 = Ly = -10 + λ[2^-1.5・0.5x^0.5y^-0.5]
0 = Lλ=2^-1.5・x^0.5y^0.5 - 12.5

ついでに、解くと、x=25, y=50, C=1000となる。確認してください。
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この回答へのお礼

Lxを計算するとλの中の2^-1.5やy^0.5も消えるんじゃないんですか?
計算が合わなくてすみません

お礼日時:2021/06/23 21:30

>Lxを計算するとλの中の2^-1.5やy^0.5も消えるんじゃないんですか?


計算が合わなくてすみません

あなたは以前も同じようなところで躓いていた。この質問

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/12413281.html

の回答3(?)だったか、どのようにして解にたどりついたか復習してごらん。
私のここNo.4もクリーンな結果になったので、正しい(計算間違いをしていない)と思う。
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この回答へのお礼

λが80になったのですがこれは合ってますよね?

お礼日時:2021/06/24 23:51

>Lxを計算するとλの中の2^-1.5やy^0.5も消えるんじゃないんですか?


計算が合わなくてすみません

もしかして、微分の計算は苦手なんでしょうか?練習問題としてつぎのようなコブダグラスの生産関数のKとLの限界生産性を計算してみてください。

Y=AK^aL^(1-a)をKとLで偏微分するとそれぞれ

∂Y/∂K=AaK^1-a・L^(1-a)
∂Y/∂L=A(1-a)K^a・L^(-a)

という結果はわかりますか?同じ微分をNo4でもやっています。
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この回答へのお礼

微分の内容はわかりました!
xとyを求めるのは連立方程式で求めるのですか?

お礼日時:2021/06/24 23:45

>微分の内容はわかりました!


xとyを求めるのは連立方程式で求めるのですか?

No4の3つの3元連立方程式をx,y,λについて解くのです。多分一番速い方法は1番目の式と2番目の式の定数項を左辺に移行して
20 = λ[・・・]
10 = λ[・・・]
の形にしてこの1番目の式を2番目の式で割って、λを消去し、xとyの関係をが得る。あとは自分で計算して!No4の私の計算結果はあっていると思う。
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あと未解決な部分があるなら、何が残っているんですか?

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この回答へのお礼

(2)
ラグランジュ関数を用いて、最適な消費量の組み合わせの候補を求めよ。

Lλ(λ,x,y)=2^1.5・x^0.5・y^0.5-12.5=0

Lx(λ,x,y)=-20 +λ(2^-1.5・0.5x^-0.5・y^0.5) = 0 Ly(λ,x,y)=-10+λ(2^-1.5・0.5x^0.5・y^-0.5) = 0

の解はλ=80 x=25 y=50が、効用最大化を実現する消費量の組み合わせの候補である

(3)
2階の条件を用いて、消費者の支出を最小限に抑えているか否かを説明せよ。


( 0 -20 -10 )
H=( -20 -0.005 0.0025 )
( -10 0.0025 -0.00125 )

|H2|=2 の符号と-1^1=-1 の符号は不一致のため正値定符号行列ではない
|H2|=2 の符号と-1^2=1の符号は一致するため負値定符号行列である。
よってx=25y=50は効用が極大


と、2問問題が続くのですがこういった形で合ってますでしょうか?

お礼日時:2021/06/26 00:15

>2)ラグランジュ関数を用いて、最適な消費量の組み合わせの候補を求めよ。


Lλ(λ,x,y)=2^1.5・x^0.5・y^0.5-12.5=0
Lx(λ,x,y)=-20 +λ(2^-1.5・0.5x^-0.5・y^0.5) = 0 Ly(λ,x,y)=-10+λ(2^-1.5・0.5x^0.5・y^-0.5) = 0
の解はλ=80 x=25 y=50が、効用最大化を実現する消費量の組み合わせの候補である

No4で示したようにラグランジュ関数をx,y,λで微分して0と置いたつ
魏の3つの方程式を解く。

0 = Lx = -20+λ[ 2^-1.5・0.5x^-0.5y^0.5]
0 = Ly = -10 + λ[2^-1.5・0.5x^0.5y^-0.5]
0 = Lλ=2^-1.5・x^0.5y^0.5 - 12.5

解x=25,y=50が「最適な消費の組み合わせ」の候補である。

ということになるでしょう。λの値は求められていないので、計算する必要はありません。なお、最適な組み合わせは通常の意味での「効用最大化消費の組み合わせ」ではありません。求めた(x,y)=(25,50)は「12.5の効用を最小費用で達成するXとYの組み合わせ」の候補です。効用最大化組み合わせを求めよではなく、「最適な組み合わせ」と書いてあるのはそのためです。

ラグランジュ関数を用いたときの2階の条件は「縁付きヘシアン」(
Bordered Hessian)です。通常のHessianではありません。これについては勉強しなかったんでしょうか?
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この回答へのお礼

縁付きヘッセは一番右の列と上の列にgxやgyがつくことですよね?

お礼日時:2021/06/26 21:49

>縁付きヘッセは一番右の列と上の列にgxやgyがつくことですよね?



縁付きヘッセ行列(Bordered Hessian, 以下BHと略す)は

Lxx Lxy Lxλ
Lyx Lyy Lyλ
Lλx Lλy Lλλ

からなる、ラグランジ関数の2次行列のこと。x=25, y=50, λ=80を代入して、|BH|=11/400>0となる(確かめてください)ので、No3で示した最大化問題(U=12.5の制約のもとで費用20x+10yの最小化する問題を最大化問題に変換したことに注意すること)の解候補(x,y)=(25,50)は本当に最適解であることが示された。
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