確率の問題 車のナンバーの下二桁

これから私たちの目の前を通過する車５０台のナンバーの下二桁（００～９９）を見ていきます。

さて、今、任意の数字たとえば「１５」としましょう。通過する５０台車のうち、ナンバーの下二桁が「１５」の車が来るほうに賭けるか、来ないほうに賭けるか、あるいはどちらでも同じか。

このような問題を以前本で見て、答えは
「来るほうに賭けたほうが確率が高い」でした。

その理由を教えてください。

※車のナンバーの下二桁（００～９９）は日本全国どの数字も同じだけ存在するとします。

No.2 ベストアンサー 回答者： TK0318 回答日時： 2005/03/20 22:33

質問のとおりの問題だと＃１の方の解答のとおりになり「来ない方に賭けたほうが確率が高い」です。

（過去に計算したことがあります）

もし「５０台のうちに少なくとも１組以上ナンバーの下二桁が同じ車が来るかどうかに賭ける」ならぜんぜん話が変わってきます。
この場合は１００／１００×９９／１００×９８／１００・・・×５１／１００＝大体６×１０＾－９
ですのでこの場合だとほぼ１００％来ます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

わたしの思い違いだったのかもしれません。
もしかしたら、
「５０台のうちに少なくとも１組以上ナンバーの下二桁が同じ車が来るかどうかに賭ける―か」という問題だったのかも‥‥。

お礼日時：2005/03/20 22:46

No.6 回答者： ryo99 回答日時： 2005/03/20 23:29

No.3です。

No.4＞それ以前の問題として，「車が50台通ったら，下2桁が15の車が含まれる確率は１００／９９９９＊５０」であるのなら，100台以上通れば確率は1を超えてしまいますよ。

仰るとおりです。
No.3もよくある(?)誤回答例でした。
失礼しました。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/04/17 00:43

No.5 回答者： marth 回答日時： 2005/03/20 23:22

No.2のお礼に『５０台のうちに少なくとも１組以上ナンバーの下二桁が同じ車が来るかどうかに賭ける―か」という問題だったのかも‥‥。

』とおっしゃっていたので、これについても計算してみましょう。

この問題では、来る方に賭けるというのは「５０台のうち少なくとも２台は同じ下２桁を持つ」となり、その排反事象は「５０台の車のすべてが違う下２桁を持つ」ことになります。

（前提条件はNo.1と同じとします。）
排反事象が起こる確率は、n台目にそれまでに来たすべての車と異なる確率が {100-(n-1)}/100ですから、
　　100/100 × 99/100 × ・・・ × 52/100 × 51/100 = 0.0000003
となり、ほぼ１００％来ることになります。（まさに、負けるのは「万が一」って感じですね。）

なお、この勝負では１３台目に来る確率が55.7％となります。

この回答へのお礼

わたしの記憶違いで、たぶんこれだったと思います。
回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/04/17 00:43

No.4 回答者： puni2 回答日時： 2005/03/20 23:02

No.3の回答では「1万通りある4桁のナンバーのうち，0000を除外しないと正しい答えは出ない」ということのようですが，そもそも質問者さんが「下二桁（００～９９）は日本全国どの数字も同じだけ存在するとします」という前提で書かれていますので，これは関係ないと思います。

それ以前の問題として，「車が50台通ったら，下2桁が15の車が含まれる確率は１００／９９９９＊５０」であるのなら，100台以上通れば確率は1を超えてしまいますよ。

というわけで，正しくはNo.1/2さんがお書きのような結果になると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/04/17 00:42

No.3 回答者： ryo99 回答日時： 2005/03/20 22:45

車のナンバーは『・・・１』～『９９９９』まで９９９９種類存在します。

（欠番は存在しないとします。）
すると下２桁が"１５"になるには、『・・１５』～『９９１５』の１００種類存在するので、
下２桁が"１５"の車が来る確率は１００／９９９９です。
５０台のうちということなので、
１００／９９９９＊５０＝５０００／９９９９＞１／２
ゆえに、「来るほうに賭けたほうが確率が高い」です。

下二桁（００～９９）の１００種類なので下２桁が"１５"の確率は１／１００。
５０台なので１／１００＊５０＝１／２。
ゆえに「どちらでも同じ」、が模範誤回答だと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/04/17 00:41

No.1 回答者： marth 回答日時： 2005/03/20 22:14

一応、確率上の計算をすると次のようになります。

「来る方に賭けた方が勝つ」というのは、「５０台のうち１台でも決められた数字（例えば１５）を下２桁に持つ車が来る」ことを意味します。
この排反事象は「来た５０台すべてが決められた数字（例えば１５）を下２桁に持たない」ことになります。

あと、実は日本の車には、下二桁に４２、４９が来ることは希望しない限りはないので出現確率が低いのですが、これも同確率で存在することとします。また、n台目の車のナンバーが来る事象は、（実際には、既に通ったことのある数字の出現確率は若干低くなるので独立事象ではないのですが、台数が多いことから）それぞれ独立事象であるとします。

この排反事象の確率を求めると、１台の車が下二桁に１５を持たない可能性は99/100。
　　(99/100)^50=0.6050...
なので、約60.5％（つまり、１台でも来る確率は約39.5％）です。

なので、５０台では「来る方に賭ける」方が分が悪いようです。
なお、手元で計算する限りは６９台目で決められた数字が来る確率が50％を超え、１００台にすると約63.4％となります。

もっとも、その本がどのように計算したのかによって答えが変わるのかもしれませんが。

この回答へのお礼

あれ？　marthさんの計算では、５０台では「来ないほうが確率が高い」ですか。

わたしが１０年ほど前に見た本では「来る」だったと記憶しているんですが‥‥。

回答ありがとうございます。

お礼日時：2005/03/20 22:20