res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式は
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) のnをkにしただけですが、なぜローラン展開のnを極の位を表すkにしても正しいa(n)の式が求まるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 質問が3つあります。
  
  質問1
  例えば、
  f(z)=1/(z-1)^2の場合はkは2であるため、
  z=1で極を持つため、
  a(n)
  res(f(z),a)
  =res(1/(z-1)^2),1)
  =1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
  =1/(2-1)! lim[z->1](d/dz)^(2-1)(z-1)^1 1/(z-1)^2
  ={lim[z->1](d/dz)^(n+1)}/{(z-1)}
  となるのでしょうか？

    補足日時：2022/08/24 06:42

• 質問2
  f(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なので、かつ
  場合わけでz=1or-1があるので、
  z=1の時、
  a(n)
  =res(1/(z^2-1),1)...
  1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
  = lim[z->1]1/(z+1)
  と以前求めた様になりませんが、
  なぜ指数はnの入っていないただの数値の1(=k)なのに正しい式が導けないのでしょうか？
  
  質問3
  今更で申し訳ないのですが、f(z)=tan(z)に関して、
  なぜz=π/2で極を持つ際にres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)のzではなくaにπ/2を代入するのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/24 06:42

• すいません。
  質問4に対する回答の
  「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
  に関しては、
  テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか？
  
  また、頂いたマクローリン展開の式は画像(テイラー展開の公式)とは形が異なりますが、どうやって画像の式からf(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nを導いたのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/24 16:11

• 質問10
  右の画像において、
  赤い下線部は間違いだと思いますが、
  なぜf(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なのにf(z)=tan(z)の時と同じk=1なのに、なぜres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式が使えないのでしょうか？
  
  質問11
  右の画像において、
  画像の青い下線部の理解で正しいでしょうか？
  
  
  
  質問12
  質問3の
  「今更で申し訳ないのですが...
  ...aにπ/2を代入するのでしょうか？」
  に関しては
  z=π/2に関してはローラン展開を導く上で画像のようになるため、aにπ/2が入るとわかりました。(質問12は厳密には質問ではないが、念のため。)

  
    補足日時：2022/08/24 20:22

• 質問13
  なるほど、
  
  地道にマクローリン展開を求めることができるが、
  
  マクローリン展開の公式はローランf(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)z^(n-a)を軸に0(原点)の周りで展開して、
  なおかつnが正の範囲での近似式なので、
  
  Σ_{n=-∞～∞}をΣ_{n=0～∞}として、a(n)z^(n-a)のaをを0して、
  
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nと以上のようにローラン展開からマクローリン展開の公式を導く方法もあるとわかりました。
  
  しかし、なぜ正の範囲なのにΣ_{n=1～∞}ではなく、Σ_{n=0～∞}なのででしょうか？
  
  また、テーラー展開の場合は
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^(n-a)だとわかりました。

    補足日時：2022/08/25 03:29

• 質問14
  画像のRとrがありますが、Rは何を表し、rは何を表すのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/25 18:25

• 「質問4に対する回答の
  「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
  に関しては、
  テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか？」
  に対して
  
  「中心z=0のテイラー展開
  と
  マクローリン展開
  は
  同じ
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…
  です」
  
  と言われましたが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合でどんな変数の展開になるのか知りたかったのですが、テイラー展開もマクローリン展開もローラン展開の正の範囲での展開と同じ式ですが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合はどんなf(z)の式になるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/26 21:28

No.29 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/26 10:24

f(z)=tan(z)の時もa=kでないし

res(f(z),a)でないし
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
で正しく計算できていません

f(z)=tan(z)の時も
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
a(n)=res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
g(z)=f(z)/(z-π/2)^(n+1)
g(z)=tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
k=n+2
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)
res(g(z),π/2)=1/(n+2-1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+2-1)(z-π/2)^(n+2)tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
res(g(z),π/2)=1/(n+1)! lim[z->π/2](d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
です

No.28 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/26 04:04

質問10

f(z)=1/(z^2-1)は1位であろうとなかろうと関係無く
a(n)は
res(f(z),a)ではなく
res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)だから
a(n)を求めるのに
res(f(z),a)はつかえません
res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)
を使ってください

f(z)=1/(z^2-1)
0<|z-1|=r<2
でのローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)=1/(2πi)∫_{|z-1|=r}{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
だから
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)
とすると
a(n)=1/(2πi)∫_{|z-1|=r}g(z)dz
↓留数の定義から

a(n)=res(g(z),1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
mtrajcpさんやありものかだりさんがこんな私に親切に回答してくださるのに、10学び1か2程度しか理解出来ないのか情けなくて、本当に本当にごめんなさい。

何だか、混乱してきました。
f(z)=tan(z)の時はa=kで、res(f(z),a)でres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)から正しい計算ができたのに。
なぜz=aで、k=1だからとさっきから馬鹿みたいに私は言っていますが、
なぜf(z)=1/(z^2-1)はg(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)としてres(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)としなければならないのかわかりません..,。

どうか。馬鹿でどうしようもない奴ですが、数学は大好きなので教えてほしいです。

お礼日時：2022/08/26 06:44

No.27 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/26 03:41

質問10

f(z)=1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
のa(n)を求めるためには
res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
は使えません
f(z)=1/(z^2-1)
g(z)=f(z)/(z-1)^(n+1)=1/{(z+1)(z-1)^(n+2)}
がz=1でk=n+2位の極を持つから
k=n+2
res(g(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kg(z)
が使えるのです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

f(z)=1/(z^2-1)は1位なのに、なぜres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)は使えないのですか？

どうか噛み砕いてわかりやすく教えて頂けないでしょうか？

また、前の解答のnに-1しか入らない理由も教えて頂けないでしょうか？

お礼日時：2022/08/26 03:48

No.26 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 20:18

質問10

f(z)がz=aでk位の極を持つとき
res(f(z),a)={1/(k-1)!}lim[z→a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k f(z)
は
成り立つけれども
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
a(-1)=res(f(z),a)
の
a(-1)を求める時だけしか使えない
n≠-1の時は使えない

この回答へのお礼

質問10に関して少し前に頂いた解答から
「f(z)=1/(z^2-1)はz=1で1位の極を持つから
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)=res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
a(-1)=res(f(z),a)=res(1/(z^2-1),1)=lim[z→1]1/(z+1)=1/2
」
となるため、
f(z)=1/(z^2-1)はkが1なので、res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式が使えるとわかりましたが、

こちらの解答に書かれた
「f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
a(-1)=res(f(z),a)
の
a(-1)を求める時だけしか使えない
n≠-1の時は使えない」
に関して、

なぜf(z)がz=aでk(=1)位の極を持つときのみ使えるres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式に関して
a(n)やローラン展開のnに数値を代入する際はn=-1しか代入出来ないのでしょうか？

もしかして、n=-1以外もとりあえずは代入は出来るが、f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^nの(z-1)^nが分母にならないためn=-1しか代入出来ないという事ですか？
どうかわかりやすく教えて頂けないでしょうか。

お礼日時：2022/08/25 21:51

No.25 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 20:12

質問9

f(z)=1/(z^2-1)に関して
マクローリン展開は中心z=0でのテイラー展開だから
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心z=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです

中心0以外の展開はマクローリン展開とは言わない

中心1で0<|z-1|<2でローラン展開できるけれども
中心1で|z-1|<2でテイラー展開できない
中心-1で0<|z+1|<2でローラン展開できるけれども
中心-1で|z+1|<2でテイラー展開できない

この回答へのお礼

すいません。

「中心-1で|z+1|<2でテイラー展開できない」
に関してはテイラー展開はnとxが正の範囲でしか展開できないため、展開できないとわかったのですが、

なぜ
中心1で|z-1|<2でテイラー展開できないのでしょうか？

お礼日時：2022/08/25 21:54

No.24 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 19:57

質問11

f(z)=1/(z-1)^2

n≠-2の時a(n)=0
n=-2の時
a(-2)=1
は正しいけれども

1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)
は
間違いです

No.23 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 19:53

質問14

f(z)=1/(z^2-1)
の場合
a=1
R=2
0<|z-1|=r<2=R
で
f(z)=1/(z^2-1)は正則
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-1|=r}(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)})dz

この回答へのお礼

質問14に関しては

f(z)=1/(z^2-1)の
|z-1|により、
rは0<|z-1|<2や2<|z-1|よりローラン展開の公式に含まれる場合わけのrであり、
Rはローラン展開の公式を導く上で出てきたドーナツ型の、2より大きい範囲で極がある際の2<|z-1|の2を表す半径Rだとわかりました。

お礼日時：2022/08/26 21:59

No.22 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 19:40

質問13

テーラー展開の場合は
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^(n-a)ではなく
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)(z-a)^n
です
マクローリン展開はテーラー展開でa=0とするのだから
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
となるのです

テーラー展開のnがn≧0の範囲だから
マクローリン展開のnもn≧0の範囲です
正ではなく0以上です

この回答へのお礼

わかりました。ありがとうございます。


えーと、2022.8.24 09:53に送られてきた
質問1に対するの解答についてですが、

mtrajcp様は
a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-a)^(n+1)}dzを使っていますが(res(f(z),π/2)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)やa(n-k)=(1/n!)lim_{z→c}(d/dz)^n{f(z)(z-c)^k}も使えるが)。

n=-2の時
a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
=res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
=res(1/(z-1)^(n+3),1)
=1/(n+3-1)! lim[z->1](d/dz)^(n+3-1){(z-1)^(n+3)/(z-1)^2}
=1/(n+2)! lim[z->1](d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)

a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-1)^(n+1)}dzから
a(-2)=1
と導きましたと書いてありますが、
過程の計算で「1/(n+2)! lim[z->1](d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)」以降の計算を誤り正しい答えは∞(発散)なのに、-2と導いてしまったという事でしょうか？

もしそうならば、正しい式は

a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
=res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
=res(1/(z-1)^(n+3),1)
=1/(n+3-1)! lim[z->1](d/dz)^(n+3-1){(z-1)^(n+3)/(z-1)^2}
=1/(n+2)! lim[z->1](d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)

=1/(-2+2)! lim(z→1)(d/dz)^(-2+2)(z-1)^(-2+1)
=1/0! lim(z→1)(d/dz)^(0)(z-1)^(-1)
=lim(z→1)1/(z-1)
=∞
なのでしょうか？

お礼日時：2022/08/25 21:39

No.21 回答者： マイファス 回答日時： 2022/08/25 19:31

理系のはなし？

No.20 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 19:30

質問11

1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)
に
n=-2
を
入れると

1/(-2+2)! lim(z→1)(d/dz)^(-2+2)(z-1)^(-2+1)
=1/0! lim(z→1)(d/dz)^(0)(z-1)^(-1)
=lim(z→1)1/(z-1)
=∞
に発散するので

1/(n+2)! lim(z→1)(d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)
は
間違いです

この回答へのお礼

ありがとうございます。

では、以前に質問1に対して頂いた解答2022.8.24 09:53に書いてある

n≠-2の時a(n)=0
n=-2の時
a(-2)=1

は間違いだったわけでしょうか？
ならば、正しくは

n≠-2の時a(n)=0
n=-2の時
a(-2)=∞

なのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/25 19:44