res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式は
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) のnをkにしただけですが、なぜローラン展開のnを極の位を表すkにしても正しいa(n)の式が求まるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 質問が3つあります。
  
  質問1
  例えば、
  f(z)=1/(z-1)^2の場合はkは2であるため、
  z=1で極を持つため、
  a(n)
  res(f(z),a)
  =res(1/(z-1)^2),1)
  =1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
  =1/(2-1)! lim[z->1](d/dz)^(2-1)(z-1)^1 1/(z-1)^2
  ={lim[z->1](d/dz)^(n+1)}/{(z-1)}
  となるのでしょうか？

    補足日時：2022/08/24 06:42

• 質問2
  f(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なので、かつ
  場合わけでz=1or-1があるので、
  z=1の時、
  a(n)
  =res(1/(z^2-1),1)...
  1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
  = lim[z->1]1/(z+1)
  と以前求めた様になりませんが、
  なぜ指数はnの入っていないただの数値の1(=k)なのに正しい式が導けないのでしょうか？
  
  質問3
  今更で申し訳ないのですが、f(z)=tan(z)に関して、
  なぜz=π/2で極を持つ際にres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)のzではなくaにπ/2を代入するのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/24 06:42

• すいません。
  質問4に対する回答の
  「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
  に関しては、
  テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか？
  
  また、頂いたマクローリン展開の式は画像(テイラー展開の公式)とは形が異なりますが、どうやって画像の式からf(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nを導いたのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/24 16:11

• 質問10
  右の画像において、
  赤い下線部は間違いだと思いますが、
  なぜf(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なのにf(z)=tan(z)の時と同じk=1なのに、なぜres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式が使えないのでしょうか？
  
  質問11
  右の画像において、
  画像の青い下線部の理解で正しいでしょうか？
  
  
  
  質問12
  質問3の
  「今更で申し訳ないのですが...
  ...aにπ/2を代入するのでしょうか？」
  に関しては
  z=π/2に関してはローラン展開を導く上で画像のようになるため、aにπ/2が入るとわかりました。(質問12は厳密には質問ではないが、念のため。)

  
    補足日時：2022/08/24 20:22

• 質問13
  なるほど、
  
  地道にマクローリン展開を求めることができるが、
  
  マクローリン展開の公式はローランf(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)z^(n-a)を軸に0(原点)の周りで展開して、
  なおかつnが正の範囲での近似式なので、
  
  Σ_{n=-∞～∞}をΣ_{n=0～∞}として、a(n)z^(n-a)のaをを0して、
  
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nと以上のようにローラン展開からマクローリン展開の公式を導く方法もあるとわかりました。
  
  しかし、なぜ正の範囲なのにΣ_{n=1～∞}ではなく、Σ_{n=0～∞}なのででしょうか？
  
  また、テーラー展開の場合は
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^(n-a)だとわかりました。

    補足日時：2022/08/25 03:29

• 質問14
  画像のRとrがありますが、Rは何を表し、rは何を表すのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/25 18:25

• 「質問4に対する回答の
  「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
  に関しては、
  テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか？」
  に対して
  
  「中心z=0のテイラー展開
  と
  マクローリン展開
  は
  同じ
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…
  です」
  
  と言われましたが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合でどんな変数の展開になるのか知りたかったのですが、テイラー展開もマクローリン展開もローラン展開の正の範囲での展開と同じ式ですが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合はどんなf(z)の式になるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/26 21:28

No.18 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 17:26

質問10

f(z)がz=aでk位の極を持つとき
res(f(z),a)={1/(k-1)!}lim[z→a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k f(z)
は
成り立つ
g(z)がz=aでk位の極を持つとき
res(g(z),a)={1/(k-1)!}lim[z→a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k g(z)
は
成り立つ

f(z)=1/(z^2-1)はz=1で1位の極を持つから
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)=res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
a(-1)=res(f(z),a)=res(1/(z^2-1),1)=lim[z→1]1/(z+1)=1/2

f(z)=tan(z)はz=π/2で1位の極を持つから
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
a(n)=res(f(z)/(z-a)^(n+1),a)=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
a(-1)=res(f(z),a)=res(tan(z),π/2)=lim[z→π/2](z-π/2)tan(z)=-1

この回答へのお礼

解答ありがとうございます！

では、z=aでk=1の時のみ、res(f(z),a)={1/(k-1)!}lim[z→a](d/dz)^(k-1)(z-a)^k f(z)は使えるとわかりました。
正しいでしょうか？

ちなみに、間違って左の画像ではなく、右の画像と書いてしまったのですが、
質問11の左の画像の青い下線部の理解で正しいでしょうか？

どうか、確認としてよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/25 18:51

No.17 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 17:07

質問9

f(z)=1/(z^2-1)に関して
マクローリン展開は中心z=0でのテイラー展開だから
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心z=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです
同じだから同じ

この回答へのお礼

なるほど、zが0.001での展開なのでz=0(z→0)となるとわかりました。


仮にz=-1の場合は
マクローリン展開は(z,y)=(0,0)であるため、マクローリン展開は使えず、
テイラー展開は中心z=-1の中心で使える。

ローラン展開は0<|z-1|<2ではn≧-1やn≦-2に関係なく、
z=-1時は|z-1|<r<2にz=-1を代入すると不等式が成り立たないため、ローラン展開が出来ない。(z=1ならば、n≧-1の時a(n)=-1/(-2)^(n+2)と導けるが。)

2<|z-1|ではz=1は2<|z-1|範囲にはいり、n≦-2の時にa(n)=1/(-2)^(n+2)を持つためローラン展開できる。(n≧-1の時z=1,z=-1でz=-1はあるが、a(n)=0である。)

<結果>
以上のようにローラン展開には( )に書いたような判例はあるが、z=-1の時はテイラー展開とローラン展開が使えるとわかりました。

お礼日時：2022/08/25 18:20

No.16 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 17:01

質問8

f(z)=tan(z)
は展開の中心π/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<πでローラン展開
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
n≦-2の時a(n)=0
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+a(2)(z-π/2)^3+a(3)(z-π/2)^4+a(4)(z-π/2)^5+…
↓両辺を微分すると(1回目)
{(z-π/2)tan(z)}'=a(0)+2a(1)(z-π/2)+3a(2)(z-π/2)^2+4a(3)(z-π/2)^3+5a(4)(z-π/2)^4+…
↓両辺を微分すると(2回目)
{(z-π/2)tan(z)}"=2a(1)+3!a(2)(z-π/2)+(4!/2)a(3)(z-π/2)^2+(5!/3!)a(4)(z-π/2)^3+…
↓両辺を微分すると(3回目)
{(z-π/2)tan(z)}"'=3!a(2)+4!a(3)(z-π/2)+(5!/2)a(4)(z-π/2)^2+…
↓両辺を微分すると(4回目)
{(z-π/2)tan(z)}""=4!a(3)+5!a(4)(z-π/2)+…
↓
…
↓両辺を微分すると((n+1)回目(n≧-1))
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+(n+2)!a(n+1)(z-π/2)+{(n+3)!/2}a(n+2)(z-π/2)^2+…
↓z→π/2とすると
lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

No.15 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 09:37

マクローリン展開

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
f(z)=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)z+3a(3)z^2+4a(4)z^3+5a(5)z^4+6a(6)z^5+7a(7)z^6+8a(8)z^7+9a(9)z^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)z+4*3a(4)z^2+5*4a(5)z^3+6*5a(6)z^4+7*6a(7)z^5+8*7a(8)z^6+9*8a(9)z^7+…
↓両辺を微分すると(3回目)
f"'(z)=3!a(3)+4!a(4)z+(5!/2)a(5)z^2+(6!/3!)a(6)z^3+(7!/4!)a(7)z^4+(8!/5!)a(8)z^5+(9!/6!)a(9)z^6+…
↓両辺を微分すると(4回目)
f""(z)=4!a(4)+5!a(5)z+(6!/2)a(6)z^2+(7!/3!)a(7)z^3+(8!/4!)a(8)z^4+(9!/5!)a(9)z^5+…
↓両辺を微分すると(5回目)
f""'(z)=5!a(5)+6!a(6)z+(7!/2!)a(7)z^2+(8!/3!)a(8)z^3+(9!/4!)a(9)z^4+…
↓両辺を微分すると(6回目)
f"""(z)=6!a(6)z+7!a(7)z+(8!/2!)a(8)z^2+(9!/3!)a(9)z^3+…
↓両辺を微分すると(7回目)
f"""'(z)=7!a(7)+8!a(8)z+(9!/2!)a(9)z^2+…
↓両辺を微分すると(8回目)
f""""(z)=8!a(8)+9!a(9)z+…
↓
…
↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると
f^(n)(0)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(0)=a(n)
∴
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)

この回答へのお礼

なるほど、マクローリン展開は原点(z,y)=(0,0)で展開する近似式であるため、z=0とするとわかりました。
何度もすいません。他の質問8〜13にも答えて頂けるとありがたいです。

お礼日時：2022/08/25 16:57

No.14 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/25 04:05

質問7

マクローリン展開
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
↓両辺をn回数微分すると
f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
↓z=0とすると
f^(n)(0)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(0)=a(n)
∴
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません。
質問7の解答に関して質問ががござい。

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nの両辺をn回数微分すると
f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…となるのでしょうか？
申し訳ないのですが、詳しい過程の計算を教えて頂けないでしょうか？ら

また、お時間のある時で構いませんので質問8〜13に答えていただけるとありがたいです。

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/25 07:26

No.13 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 16:34

中心a=0でテイラー展開ができて

中心a=0のテイラー展開をマクローリン展開というのだから
(中心a=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)できて
(中心a=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心a=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです

中心a=0のテイラー展開
と
マクローリン展開
は
同じ

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…

{(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)とすると

a(n)=(1/n!)f^(n)(0)

です
だから
画像の式から
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
を導いたのではありません

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
から
a(n)=(1/n!)f^(n)(0)
を導きこれを
f(x)=Σ_{n=0～∞}a(n)x^n
に代入すると
画像の式でa=0の場合になるのです

この回答へのお礼

なるほど、分母がほぼ0に近くなる様な、すなわちz→π/2で極を持つ様なz=π/2を中心に展開出来るのはローラン展開だけだとわかりました。

申し訳ないのですが、質問が複数ございます。

質問7
「f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…

{(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)とすると

a(n)=(1/n!)f^(n)(0)」に関して、

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…①

{(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)...②

a(n)=(1/n!)f^(n)(0)...③

①から②になるまでを、②から③になるまでの過程の計算を細かく詳しく教えて頂けないでしょうか？


質問8
質問3に対して頂いた解答「↓n≧-1,両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→π/2とすると」
の「…」が省略されていますが、省略しないで計算部分を書いて頂けないでしょうか？

質問9
f(z)=1/(z^2-1)に関して
ローラン展開を使う場合、マクローリン展開を使う場合、テイラー展開を使う場合で、
それぞれ、zが0.001の時の近侍式を求めるまでの過程の計算を教えて下さい。

お礼日時：2022/08/24 20:13

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 16:27

中心a=0でテイラー展開ができて

中心a=0のテイラー展開をマクローリン展開というのだから
(中心a=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)できて
(中心a=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心a=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです

中心a=0のテイラー展開
と
マクローリン展開
は
同じ

f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…

{(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)とすると

a(n)=(1/n!)f^(n)(0)

です

No.11 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 16:19

中心z=0でテイラー展開ができて

中心z=0のテイラー展開をマクローリン展開というのだから
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)できて
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心z=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです

中心z=0のテイラー展開
と
マクローリン展開
は
同じ
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…
です

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 16:08

質問6

f(z)=tan(z)に関して
中心z=π/2でローラン展開はできるけれども
中心z=π/2でテイラー展開はできない
中心z=0のテイラー展開をマクローリン展開というのだから
マクローリン展開の中心はz=0以外にはならない

中心z=0でテイラー展開ができて
中心z=0のテイラー展開をマクローリン展開というのだから
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)できて
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心z=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 16:04

質問5

f(z)=tan(z)に関して
中心π/2でローラン展開はできるけれども
中心z=π/2でテイラー展開はできない

中心z=0でテイラー展開ができて
中心z=0のテイラー展開をマクローリン展開というのだから
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)できて
(中心z=0のテイラー展開)=(マクローリン展開)=(中心z=0のローラン展開)
の
3つは全く同じものです

この回答へのお礼

ではz=π/2で展開出来るのはローラン展開だけなのですね。正しいでしょうか？

お礼日時：2022/08/24 16:06