res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式は
res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z) のnをkにしただけですが、なぜローラン展開のnを極の位を表すkにしても正しいa(n)の式が求まるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 質問が3つあります。
  
  質問1
  例えば、
  f(z)=1/(z-1)^2の場合はkは2であるため、
  z=1で極を持つため、
  a(n)
  res(f(z),a)
  =res(1/(z-1)^2),1)
  =1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
  =1/(2-1)! lim[z->1](d/dz)^(2-1)(z-1)^1 1/(z-1)^2
  ={lim[z->1](d/dz)^(n+1)}/{(z-1)}
  となるのでしょうか？

    補足日時：2022/08/24 06:42

• 質問2
  f(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なので、かつ
  場合わけでz=1or-1があるので、
  z=1の時、
  a(n)
  =res(1/(z^2-1),1)...
  1/(1-1)! lim[z->1](d/dz)^(1-1)(z-1) 1/(z^2-1)
  = lim[z->1]1/(z+1)
  と以前求めた様になりませんが、
  なぜ指数はnの入っていないただの数値の1(=k)なのに正しい式が導けないのでしょうか？
  
  質問3
  今更で申し訳ないのですが、f(z)=tan(z)に関して、
  なぜz=π/2で極を持つ際にres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)のzではなくaにπ/2を代入するのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/24 06:42

• すいません。
  質問4に対する回答の
  「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
  に関しては、
  テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか？
  
  また、頂いたマクローリン展開の式は画像(テイラー展開の公式)とは形が異なりますが、どうやって画像の式からf(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nを導いたのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/24 16:11

• 質問10
  右の画像において、
  赤い下線部は間違いだと思いますが、
  なぜf(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なのにf(z)=tan(z)の時と同じk=1なのに、なぜres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)の式が使えないのでしょうか？
  
  質問11
  右の画像において、
  画像の青い下線部の理解で正しいでしょうか？
  
  
  
  質問12
  質問3の
  「今更で申し訳ないのですが...
  ...aにπ/2を代入するのでしょうか？」
  に関しては
  z=π/2に関してはローラン展開を導く上で画像のようになるため、aにπ/2が入るとわかりました。(質問12は厳密には質問ではないが、念のため。)

  
    補足日時：2022/08/24 20:22

• 質問13
  なるほど、
  
  地道にマクローリン展開を求めることができるが、
  
  マクローリン展開の公式はローランf(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)z^(n-a)を軸に0(原点)の周りで展開して、
  なおかつnが正の範囲での近似式なので、
  
  Σ_{n=-∞～∞}をΣ_{n=0～∞}として、a(n)z^(n-a)のaをを0して、
  
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^nと以上のようにローラン展開からマクローリン展開の公式を導く方法もあるとわかりました。
  
  しかし、なぜ正の範囲なのにΣ_{n=1～∞}ではなく、Σ_{n=0～∞}なのででしょうか？
  
  また、テーラー展開の場合は
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^(n-a)だとわかりました。

    補足日時：2022/08/25 03:29

• 質問14
  画像のRとrがありますが、Rは何を表し、rは何を表すのでしょうか？

  
    補足日時：2022/08/25 18:25

• 「質問4に対する回答の
  「マクローリン展開は中心0のテイラー展開
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…」
  に関しては、
  テイラー展開の場合はどんな変数の展開になるのでしょうか？」
  に対して
  
  「中心z=0のテイラー展開
  と
  マクローリン展開
  は
  同じ
  f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
  =a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…
  です」
  
  と言われましたが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合でどんな変数の展開になるのか知りたかったのですが、テイラー展開もマクローリン展開もローラン展開の正の範囲での展開と同じ式ですが、中心z=0のテイラー展開ではなく、ただのテイラー展開の場合はどんなf(z)の式になるのでしょうか？
  
  どうかよろしくお願い致します。

    補足日時：2022/08/26 21:28

No.8 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 15:53

質問4

マクローリン展開は中心0のテイラー展開
f(z)=Σ_{n=0～∞}a(n)z^n
=a(0)+a(1)z+a(2)z^2+…

ローラン展開は中心が特異点(極)で
中心を除くその周りでの展開
0<|z-c|<Rで
f(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-c)^n
=…+a(-1)/(z-c)+a(0)+a(1)(z-c)+a(2)(z-c)^2+…

ローラン展開は負べき項があり中心で発散する

この回答へのお礼

なるほど、ローラン展開は0(特異点)ではなく、0(特異点)に限りなく近い場所で展開する近侍式なのですね。
ただ、ローラン展開の正の範囲での式とテイラー展開(やマクローリン展開)の式が一致するのはたまたまなのでしょうか？

お礼日時：2022/08/24 16:05

No.7 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 14:03

質問3

f(z)=tan(z)
はπ/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<πでローラン展開
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
n≦-2の時a(n)=0
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
↓n≧-1,両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+(n+2)!a(n+1)(z-π/2)+{(n+3)!/2}a(n+2)(z-π/2)^2+…
↓z→π/2とすると
lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}…(3)

a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
=res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
↓(3)から
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)

この回答へのお礼

なるほど、z=π/2とは表向きな数値で実際はz→π/2なのですね。(まぁ、ローラン展開の公式を導く上でそうなったからとしか言いようがないですが。)

なおかつ、zにπ/2を代入するとf(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^nは0になるため、
a=π/2を軸にzが徐々にπ/2に近づく事で近侍式となるわけですね！
ですが、ローラン展開は分母が0になるような点から展開できる近似式ですが、zが徐々にπ/2に近づくだけで0になるわけではないと思います。

質問4
確かマクローリン展開は点0からでも近侍式を作れる公式だったと思いますが、もしそうならば、ローラン展開とマクローリン展開は式の形が違うだけで使う用途は同じって事でしょうか？

質問5
出来れば、f(z)=tan(z)に関してローラン展開とマクローリン展開の式を導いて式の違いを教えて頂けないでしょうか？

質問6
f(z)=tan(z)に関してローラン展開とマクローリン展開の式のzに実際の0.001などの値を入れて近似値を求めるまでの過程の計算を教えて下さい。


どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/24 15:32

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 10:20

質問3

f(z)=tan(z)
はz=π/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<πでローラン展開
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
n≦-2の時a(n)=0
tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
↓n≧-1,両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→π/2とすると
lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}…(3)

a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz
=res(f(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
=res(tan(z)/(z-π/2)^(n+1),π/2)
↓(3)から
={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}

この回答へのお礼

ありがとうございます。

「f(z)=tan(z)
はz=π/2で1位の極を持つから
0<|z-π/2|<πでローラン展開
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^n」
に関してなのですが、なぜf(z)=Σ_{n=-∞～∞}a(n)(z-a)^nのzではなくaにπ/2が入るのでしょうか？

z=π/2と書いたならばaではなく、zに入るべきだと思ったのですが。

また、

「(z-π/2)tan(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-π/2)^(n+1)
↓n≧-1,両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}=(n+1)!a(n)+…」
に関して、「…」の部分を具体的に書いて頂けないでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/24 12:15

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 10:07

質問2

f(z)=1/(z^2-1)の場合はkが1なので、かつ
場合わけでz=1or-1があるので、
z=1の時、
a(n)=res(1/(z^2-1),1)
は間違いです

f(z)=1/(z^2-1)は
z=1で1位の極を持つから
0<|z-1|<2でローラン展開
f(z)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
n≦-2の時a(n)=0
1/(z^2-1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^n
↓両辺に(z-1)をかけると
1/(z+1)=Σ_{n=-1～∞}a(n)(z-1)^(n+1)
↓n≧-1,両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)+…
↓z→1とすると
lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}=a(n)
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}…(2)

a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
=res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
=res(1/{(z+1)(z-1)^(n+2)},1)
↓(2)から
={1/(n+1)!}lim_{z→1}(d/dz)^(n+1){1/(z+1)}

この回答へのお礼

ありがとうございます。
あの、f(z)=1/(z^2-1)はf(z)=tanθの時と同じkが1なのに、なぜres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)が使えないのでしょうか？

お礼日時：2022/08/24 11:48

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 09:53

質問1

f(z)=1/(z-1)^2の場合はkは2であるため、
z=1で極を持つため、
a(n)=res(f(z),a)
は間違いです

f(z)=1/(z-1)^2の場合はkは2であるため、
z=1で極を持つため、

f(z)=Σ_{n=-2}a(n)(z-1)^n=1/(z-1)^2
だから
n≠-2の時a(n)=0
n=-2の時
a(-2)=1

a(n)={1/(2πi)}∫{f(z)/(z-1)^(n+1)}dz
=res(f(z)/(z-1)^(n+1),1)
=res(1/(z-1)^(n+3),1)
=1/(n+3-1)! lim[z->1](d/dz)^(n+3-1){(z-1)^(n+3)/(z-1)^2}
=1/(n+2)! lim[z->1](d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
要はk=1の時だけres(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)が使えるわけでしょうか？

また、a(-2)=1に関しては1/(n+2)! lim[z->1](d/dz)^(n+2)(z-1)^(n+1)のnに-2を入れて1と導いたのでしょうか？

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時：2022/08/24 11:51

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 09:37

1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)

={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
は間違いです

f(z)がz=aでk位の極を持つという条件である時であるため、
f(x)=tan(z),a=π/2として

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1
です

この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど
「res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
=1/(0)! lim[z->a](d/dz)^(0)(z-a)tan(z)
=lim[z->a](z-a)tan(z)
=-1」
より、z→π/2の時、f(z)=tan(z)が∞になるため、a(n)は0にならないとわかりました。

お礼日時：2022/08/24 10:35

No.2 回答者： ひなげしのはな 回答日時： 2022/08/24 05:54

そういう事です。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

ひなげしのはなさん。

お礼日時：2022/08/24 06:06

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/08/24 04:15

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)

は
f(z)がz=aでk位の極を持つという条件がなければ間違いです

res(f(z),a)=1/(n-1)! lim[z->a](d/dz)^(n-1)(z-a)^nf(z)
は
f(z)がz=aでn位の極を持つという条件がなければ間違いです

f(z)がz=aでk位の極を持つとき
f(z)のローラン展開は
f(z)=Σ_{n=-k～∞}a(n)(z-a)^n
だから
極位数
k
と
a(n)の
n
を同じ変数nにしてはいけません

この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、ならば

f(z)がz=aでk位の極を持つという条件である時であるため、
f(x)=tan(z),a=π/2として

res(f(z),a)=1/(k-1)! lim[z->a](d/dz)^(k-1)(z-a)^kf(z)
=res(tan(z),a)=1/(1-1)! lim[z->a](d/dz)^(1-1)(z-a)^1tan(z)
={1/(n+1)!}lim[z->π/2](d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
は正しいとわかりました。

お礼日時：2022/08/24 04:19