微分方程式 二階非線形 の問題で質問です。 ① y''-4y'+5y=e^(2x)/sinx ②y"

微分方程式　二階非線形　の問題で質問です。
① y''-4y'+5y=e^(2x)/sinx
②y"-3y'+2y=1/{1+e^(-x)}
これらの解き方がわからなくて困っています。
どのように特殊解を見つけたら良いのでしょうか？
相談相手がいないのでよろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/08 14:03

演算子法が簡単じゃない？

①
特殊解は、
(D^2-4D+5)y = e^(2x)/sin x より
y = { 1/(D^2-4D+5) }e^(2x)/sin x
　= { 1/(D-(2+i)) + 1/(D-(2-i)) }e^(2x)/sin x
　= { 1/(D-(2+i)) }e^(2x)/sin x + { 1/(D-(2-i)) }e^(2x)/sin x
　= e^((2+i)x) ∫{ e^(-(2+i)x) e^(2x)/sin x }dx
　　+ e^((2-i)x) ∫{ e^(-(2-i)x) e^(2x)/sin x }dx
　= e^((2+i)x) ∫{ e^(-ix) 2i/(e^(ix) - e^(-ix)) }dx
　　+ e^((2-i)x) ∫{ e^(ix) 2i/(e^(ix) - e^(-ix)) }dx
　= e^((2+i)x) ∫{ 2/(- e^(ix) + e^(-ix)) } (-i) e^(-ix) dx
　　+ e^((2-i)x) ∫{ 2/(e^(ix) - e^(-ix)) } i e^(ix) dx
　= e^((2+i)x) ∫{ 2/(- 1/v + v) } dv　　；v=e^(-ix)
　　+ e^((2-i)x) ∫{ 2/(u - 1/u) } du　　；u=e^(ix)
　= e^((2+i)x) ∫{ 1/(v+1) + 1/(v-1) } dv　
　　+ e^((2-i)x) ∫{ 1/(u+1) + 1/(u-1) } du
　= e^((2+i)x) log(v^2 - 1)
　　+ e^((2-i)x) log(u^2 - 1)
　= e^((2+i)x) log(e^(-2ix) - 1)
　　+ e^((2-i)x) log(e^(2ix) - 1).
特殊解を１個見つければよいだけだから、積分定数は気にしていない。
一般解は、
y = e^((2+i)x) log(e^(-2ix) - 1) + e^((2-i)x) log(e^(2ix) - 1)
　+ A e^((2+i)x) + B e^((2-i)x)　　；A,Bは定数。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/11/08 10:31

右辺の関数の形から「特殊解」の形を想定して試行錯誤することもできますが、一般的な場合の特殊解の求め方があります。

「ロンスキー行列」と呼ばれるものを使う方法。
講義やテキストでやりませんでしたか？

下記の動画の 16:00～ あたりから。
↓


書きものだと、下記の「7.3 一般的な解法（定数変化法）」
↓
https://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~norihiro.tana …