三角形ABCにおいてa=2√3、b=3-√3、C=120°のとき残りの辺の長さと角の大きさを求めよ

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質問者：バソコソ
質問日時：2022/11/24 21:56
回答数：4件

三角形ABCにおいてa=2√3、b=3-√3、C=120°のとき
残りの辺の長さと角の大きさを求めよ
という問題です。cが3√2はわかりました
あとがわかりません。教えてください

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回答 (4件)

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No.3ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2022/11/25 00:24

No.2 です。

ひょっとして、質問者さんがひっかかっているのは「分母の有理化」のところでしょうか？

#2 の中で

＞だったら A を求めてみる。
＞　a^2 = b^2 + c^2 - 2bc･cosA
＞より
＞　(2√3)^2 = (3 - √3)^2 + (3√2)^2 - 2･(3 - √3)(3√2)cosA
＞→　12 = (9 - 6√3 + 3) + 18 - (18√2 - 6√6)cosA
＞→　(18√2 - 6√6)cosA = 18 - 6√3
＞→　cosA = (3 - √3)/(3√2 - √6)　　　　　　←※１
＞　　　　= (3 - √3)(3√2 + √6)/(18 - 6)　　←※２
＞　　　　= (9√2 + 3√6 - 3√6 -3√2)/12
＞　　　　= (6√2)/12
＞　　　　= (√2)/2

の※１から※２へは、「分母の有理化」しています。
※１の分母「3√2 - √6」ではどんな値なのか分かりにくいので、分母を「整数」に変換します。
そのためには、ルートを外すために
　(A + B)(A - B) = A^2 - B^2
を使います。
つまり※１の分子・分母に「3√2 + √6」をかけています。
これによって、分母が整数になりますが、その過程で分子の「√6」の項が消えて「√2」の項だけになります。

質問者さんは、その「分母の有理化」の戦略を適用できずに行き詰っていたのかな？

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この回答へのお礼

分かりました！
丁寧にありがとうございます！

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お礼日時：2022/11/25 21:22

No.4

回答者： mtrajcp
回答日時：2022/11/25 06:14

正弦定理から

c/sinC=a/sinA
csinA=asinC

sinA
=(asinC)/c
=(2√3)sin(120°)/(3√2)
=(2√3)((√3)/2)/(3√2)
=1/√2

A=45°
B=180°-120°-45=15°

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No.2

回答者： yhr2
回答日時：2022/11/24 23:31

いくつも回答してあげているのに、自分でやってみる気がないのかな？

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab･cosC
に数値を代入すれば
　c^2 = (2√3)^2 + (3 - √3)^2 - 2･(2√3)(3 - √3)cos(120°)
　　　= 12 + (9 - 6√3 + 3) - (12√3 - 12)(-1/2)
　　　= 24 - 6√3 + 6√3 - 6
　　　= 18
c>0 なので
　c = 3√2

残りの角度を求めてみると
　b^2 = a^2 + c^2 - 2ac･cosB
より
　(3 - √3)^2 = (2√3)^2 + (3√2)^2 - 2･(2√3)(3√2)cosB
→　9 - 6√3 + 3 = 12 + 18 - (12√6)cosB
→　(12√6)cosB = 18 + 6√3
→　cosB = (18 + 6√3)/(12√6)
　　　　= (3 + √3)/(2√6)
　　　　= (3√6 + 3√2)/12
　　　　= (√6 + √2)/4
これから角度 B を確定するのはちょっと無理。

だったら A を求めてみる。
　a^2 = b^2 + c^2 - 2bc･cosA
より
　(2√3)^2 = (3 - √3)^2 + (3√2)^2 - 2･(3 - √3)(3√2)cosA
→　12 = (9 - 6√3 + 3) + 18 - (18√2 - 6√6)cosA
→　(18√2 - 6√6)cosA = 18 - 6√3
→　cosA = (3 - √3)/(3√2 -√6)
　　　　= (3 - √3)(3√2 + √6)/(18 - 6)
　　　　= (9√2 + 3√6 - 3√6 -3√2)/12
　　　　= (6√2)/12
　　　　= (√2)/2
これで
　A = 45°
であることが分かります。
残る B は
　180 - 45 - 120 = 15°
ということが分かります。

角度 B は直接求めるのが難しいので、角度Aを求め、B は「三角形の内角の和」から求めます。