参考書にこの問題が載っていたのですが、 答えが略されすぎてあまり理解できませんでした。 噛み砕いた解

参考書にこの問題が載っていたのですが、
答えが略されすぎてあまり理解できませんでした。
噛み砕いた解答の説明、考え方をご教授ください。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/01 19:50

互除法を使いましょう。

自然数 a と b の最大公約数は、 a-b と b の最大公約数と一致します。
これを使って...　ｇｃｄ(7n+10, 2n+3) =
= gcd((7n+10)-(2n+3), 2n+3) = gcd(5n+7, 2n+3)
= gcd((5n+7)-(2n+3), 2n+3) = gcd(3n+4, 2n+3)
= gcd((3n+4)-(2n+3), 2n+3) = gcd(n+1, 2n+3)
= gcd(n+1, (2n+3)-(n+1)) = gcd(n+1, n+2)
= gcd(n+1, (n+2)-(n+1)) = gcd(n+1,1).

7n+10 と 2n+3 の最大公約数は 1 の約数と判ったので、1 です。
つまり、自然数 n の値によらず、7n+10 と 2n+3 は互いに素です。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/12/01 19:47

7n+10と2n+3の共通因数が有ると仮定すると矛盾が起こる事を示す。

やり方は色々あるけど、1例を。

共通因数をd(但し1以外)とすると、整数a,bを用いて
①7n+10=ad
②2n+3=bd
と表わせる。

②×7-①×2を計算すると、
7bd-2ad=1
d(7b-2a)=1
d=1/(7b-2a)

dは1以外の整数の筈だが、右辺は1又は、整数にならない分数。

共通因数が有ると仮定すると矛盾が起きる。
∴共通因数は無い。