放物型偏微分方程式 ∂u/∂t =α^2 (∂^2u/∂x^2) + xcost (0<x<1) 境

放物型偏微分方程式　∂u/∂t =α^2 (∂^2u/∂x^2) + xcost (0<x<1)

境界条件　u(0,t)=1
u_x(1,t)+hu(1,t)=1
(0<t<∞)
初期条件　u(x,0) = sin(πx) (0≦x≦1)

を同次の境界条件に変換して解いてください。よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/29 14:49

似たようなご質問を見たばかり。

どうも、線形微分方程式は解の重ね合わせが利く（u=fとu=gが解なら u=f + gも解）ってことがお分かりではないのか？
　u は特殊解 x sin t と熱方程式
　　∂v/∂t =α^2 (∂^2 v/∂x^2)
の解vとの和です。で、熱方程式についてはどこの教科書にも載っている通りに、vをxについてのフーリエ級数の形
　　v = Σ Fn, Fn(x,t)= An(n) exp(-2inπx)
に表せば、項別に熱方程式
　　∂Fn/∂t =α^2 (∂^2 Fn/∂x^2)
を解くのは造作もない。あとは、境界条件と初期条件に合うように係数An(t)を決めれば良いだけで、そのぐらい自分でやらなくちゃね。ところでhuって何だろうな。