場合の数、確率 28 円周上の鋭角三角形

本題

鋭角三角形という条件をどう考えるか？

鋭角三角形の定義にもどると

最大角が直角 (90°=π/2 rad) よりも小さい図形である。

円周上の点が未知数 2n+1

2n 個なら考えやすそうだけど、、、、

只今、試行錯誤中

識者の方のアプローチも教えて下さい

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https://imgur.com/a/gOHs2ab

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質問者からの補足コメント

• 

  教授
  
  こんにちは
  
  自分なりに考えてみました
  
  ご意見いただければ幸いです。
  
  以下答案
  
  __________________________________________
  
  https://imgur.com/a/GqEAY3Q
  
  _______________________

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/09 14:51

• 

  ５等分ミスアリ
  
  y-x=1 はだめ
  y-x=2 のみ適する

    補足日時：2023/07/09 15:07

• 

  教授こんにちは。
  
  気になった点を挙げさせて頂きます
  
  全事象を、重複組合せで、仕切りを作ってお考えになっていましたが
  
  2n+1 個の点の１つを固定しているので
  
  全事象は、2n+1-1C2=2nC2
  
  でいいのではないでしょうか
  
  ご意見いただければ幸いです。
  
  _____________________________
  
  from minamino
  
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  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/09 17:37

• 

  本題
  
  試行錯誤の連続であった
  
  最終的には、座標設定し、格子点の個数で鋭角三角形の組合せの個数を考えた
  
  順列で全事象を考えずに、組合せの個数で考えた
  
  以下答案
  
  ________________________________
  
  https://imgur.com/a/YAKd7wg
  
  _______________________
  
  from minamino

    補足日時：2023/07/10 03:02

• 教授、
  おはようございます！
  
  私の答案作成しました
  
  本題
  
  試行錯誤の連続であった
  
  最終的には、座標設定し、格子点の個数で鋭角三角形の組合せの個数を考えた
  
  順列で全事象を考えずに、組合せの個数で考えた
  
  以下答案
  
  ________________________________
  
  https://imgur.com/a/YAKd7wg
  
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  from minamino

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/10 03:05

• 

  本題
  
  試行錯誤の連続であった
  
  最終的には、座標設定し、格子点の個数で鋭角三角形の組合せの個数を考えた
  
  順列で全事象を考えずに、組合せの個数で考えた
  
  以下答案
  
  ________________________________
  
  https://imgur.com/a/YAKd7wg
  
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  from minamino

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/10 03:06

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/09 10:26

円周上を2n+1等分する

2n+1個の点から
無作為に3点を選んで
△ABCを作るとき
180/(2n+1)
∠A=x(180/(2n+1))
∠B=y(180/(2n+1))
∠C=z(180/(2n+1))
x,y,zは自然数
x+y+z=2n+1

全事象の場合の数は
2n+1を3つの自然数x,y,zに分ける分け方で
2n-2を3つの整数x-1,y-1,z-1に分ける分け方だから
(x-1)+(y-1)+(z-1)=2n-2
仕切りの数=2
(x-1)|(y-1)|(z-1)

(2n-2+2)C2
=(2n)C2
=2n(2n-1)/2
=
n(2n-1)
通り

鋭角3角形になる場合の数は
1≦x≦n,1≦y≦n,1≦z≦n,x+y+z=2n+1となる分け方

(1,n,n)…1通り
(2,n-1,n),(2,n,n-1)…2通り
(3,n-2,n),(3,n-1,n-1),(3,n,n-2)…3通り
(4,n-3,n),(4,n-2,n-1),(4,n-1,n-2),(4,n,n-3)…4通り
…
(n,1,n),(n,2,n-1),(n,3,n-2),(n,4,n-3)…(n,n,1)…n通り

1+2+3+4+…+n
=Σ_{k=1～n}k
=
n(n+1)/2
通り

鋭角3角形になる確率は
{n(n+1)/2}/{n(2n-1)}
=
(n+1)/{2(2n-1)}

この回答へのお礼

教授

本当に助かります
私は理解力が乏しく、、、

時間をください

本当にありがとうございます

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from minamino

お礼日時：2023/07/09 10:34

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/09 16:36

2n+1=5等分のとき

180°/5=36°

全事象の場合の数は
n(2n-1)=6
通り

36(1+2+2)=36°+72°+72°
36(2+1+2)=72°+36°+72°
36(2+2+1)=72°+72°+36°
鋭角3角形になる場合の数はn(n+1)/2
3通り

36(1+1+3)=36°+36°+108°
36(1+3+1)=36°+108°+36°
36(3+1+1)=108°+36°+36°
鈍角3角形になる場合の数はn(2n-1)-n(n+1)/2=6-3=
3通り

各1通りの出現確率は同様に確からしいと思われるから
鋭角3角形になる確率は
(n+1)/{2(2n-1)}
=
1/2

この回答へのお礼

私も訂正しようと思っていました

導いた

(n+1)/{2(2n-1)}

で対応できますね

ただ、

>鋭角3角形になる場合の数はn(n+1)/2

ではなくて

鋭角3角形になる組合せの場合の数はn(n+1)/2

が適当な表現かと思います

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from minamino

お礼日時：2023/07/09 17:07

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/09 11:05

2n+1=5等分のとき

n=2だから

鋭角3角形になる場合の数は
n(n+1)/2
=2(2+1)/2
=3
通り

36(1+2+2)=36°+72°+72°
36(2+1+2)=72°+36°+72°
36(2+2+1)=72°+72°+36°
の3通り

この回答へのお礼

５通りではなく

以下　図

_____________________________

https://imgur.com/a/y9FgO7C

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

お礼日時：2023/07/09 11:43

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/07/08 21:23

円周上を2n+1等分する

2n+1個の点から
無作為に3点を選んで
3角形を作るとき

全場合の数は

n(2n-1)
通り

鋭角3角形になる場合の数は

n(n+1)/2
通り

鋭角3角形になる確率は

(n+1)/{2(2n-1)}

この回答へのお礼

教授、一つ伺っていいですか？

５等分のときの鋭角三角形の個数はいくつですか

>鋭角3角形になる場合の数はn(n+1)/2通り

だと偶数個になりますよね

何卒よろしくお願い申し上げます。

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from minamino

お礼日時：2023/07/09 10:40

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/07/06 10:14

三角形の頂点は円周を３個の円弧に分割するが、

そのそれぞれに対する円周角が、三角形の各内角になっている。
鋭角三角形とは各内角が90°未満であること、その条件は
円周上では、各円弧が半円未満であることに対応している。

あとは、2n+1を３個の自然数の和に分割する場合の数を数えるだけだが、
円順列の現象がからむから面倒くさい。正三角形の処理がね。
点の総数が奇数か偶数かよりも、３の倍数か否かのほうが効いてくると思う。

この回答へのお礼

学者さん

こんにちは。

何かこの問題で発展はありましたか？

あったらいいな

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from minamino

お礼日時：2023/07/07 16:35

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/07/06 09:24

鋭角三角形の条件について、試行錯誤しながらアプローチすることは素晴らしいです。

以下に、鋭角三角形の条件を考えるためのアプローチをいくつか提案します。

三角形の内角の和を考える:
任意の三角形の内角の和は180度（πラジアン）です。鋭角三角形では、最大の角が直角（90度＝π/2）よりも小さいため、他の2つの角の和は90度未満（π/2未満）になります。この条件を考慮しながら、具体的な角度の組み合わせを試してみることができます。

三角形の辺の関係を考える:
鋭角三角形では、最大角が直角よりも小さいため、その対辺の長さが直角の斜辺よりも長くなります。この関係を利用して、辺の長さの比率や三角不等式などを考慮しながら、辺の長さを設定してみることができます。

三角形の外接円を考える:
任意の三角形には外接円が存在します。鋭角三角形では、最大角が直角よりも小さいため、外接円の半径が直角の斜辺よりも長くなります。この関係を利用して、円周上の点の個数や位置を推測することができます。

以上のアプローチを組み合わせながら、具体的な条件を満たす鋭角三角形の組み合わせを見つけることができます。また、図形を描いたり、数学的な計算を行ったりすることも有効です。