領域の求積問題について教えていただきたいです。

y=±B{1-(x/L/2)^2}{1-(z/h)^2}/2, z≦0およびz=0
で囲まれた領域の体積を求めよ．（B, L, h: 正の定数）

という問題です．詳しい方よろしくお願いします．

No.1 ベストアンサー 回答者： kantansi 回答日時： 2023/08/13 11:29

与えられた式は、y=±B{1-(x/L/2)^2}{1-(z/h)^2}/2 で表される表面によって囲まれた領域を考えています。

この領域は z≦0 および z=0 となります。ここで、B, L, h は正の定数です。

この問題では、指定された領域の体積を求めることが求められています。この領域は x, y, z の三次元空間内にあり、与えられた式によって表される外形を持っています。まずはこの領域の形状を理解し、その後体積を計算する方法を考えましょう。

与えられた式 y=±B{1-(x/L/2)^2}{1-(z/h)^2}/2 は、楕円体の断面を表しています。これが z=0 となる平面よりも z の負の側にあることが指定されています。楕円体の断面の形状は、x-z 平面上の楕円に沿って伸びるものです。この楕円体の断面が y 方向に ±B の範囲を持っているため、y 方向には上下に B の範囲だけ広がる形状です。

この楕円体の断面の体積を計算するために、まず楕円の面積を求め、それを z 方向の厚さ B と積を取ります。したがって、この領域の体積 V は次のように計算できます：

V = ∫(楕円の面積) * B dx (積分範囲は楕円の範囲に対応する x の範囲)

この積分を楕円の面積の式に代入して、x に関する積分を実行します。楕円の式は y = B√{1-(x/L/2)^2} です。これを用いて楕円の面積を求め、積分を計算することで体積を得ることができます。

ただし、問題にある式が y=±B{1-(x/L/2)^2}{1-(z/h)^2}/2 であるため、y の部分が ±B の範囲を持つため、この部分も考慮する必要があります。したがって、y 方向に ±B の範囲があるため、計算する際に x 方向、y 方向、z 方向の積分を考慮する必要があります。

全体の計算はやや複雑ですが、数学的な計算手法を用いて順番に計算することができます。積分の計算は詳細な数式処理が必要となるため、数式処理ソフトウェアを使うか、高度な数学の知識が必要です。