至急です。「地表面付近で、重力と空気抵抗による力を受けて運動する物体の動きを論ぜよ。空気抵抗による力

至急です。「地表面付近で、重力と空気抵抗による力を受けて運動する物体の動きを論ぜよ。空気抵抗による力の大きさは物体の速さに比例し、向きは速度と反対向きであると仮定してよい。運動方程式を立ててそれを解き、得られた結果がどのような運動を表しているかを説明する」という課題をやっているのですが、物体の動きを写真の上図から分かる通り斜方投射で解こうとしています。運動方程式を立ててxを求めるところまではわかったのですが、yを求める式の解き方がわかりません。具体的に言うと写真の下の式が解けません。よければ解き方を教えていただきたいです。それとxとyの速度の式も解いたものを教えていただけたら誠にありがたいです。よろしくお願いします。

No.1 回答者： himagene 回答日時： 2023/10/30 08:13

v_yについての式は「定係数 1 階線形非斉次系微分方程式」と言います。

数学の教科書の最初の方に出ているはずです。
http://www.mech.cst.nihon-u.ac.jp/studies/matumo …
「論ぜよ」という課題なのだから、自分で色々と考えて筋道を立てて論じてください。
それから、気になるのはわざわざ「地表面付近」とことわっている点です。物体の形によっては「地表効果（地面効果）」という現象が現れます。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/30 08:24

空気抵抗が速さに比例する場合、

運動方程式はベクトルの線形微分方程式になるから
方程式の対角化で単変数と時刻の線形微分方程式2本に分解できます。
そこまで変形すれば容易に解けます。

ベクトルvの線形微分方程式
dv/dt=Av+C (A: 定数行列、Ｃ: 定数ベクトル)
という形は、物理ではしょっちゅう出てくるので
解き方は大学レベルの教科書や物理数学の教科書に載ってます。
解き方を習熟しておいた方が良いですよ。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/10/30 09:37

「抵抗のある自由落下」などで検索すれば、解説サイトはいくらでも見つかります。

（下向きを正とするもの、上向きを正とするものがあるのでそこは要注意）
たとえば
↓
https://hooktail.sub.jp/mechanics/resistdown/
https://diracphysics.com/portfolio/mechanics/S1/ …
https://math-fun.net/20210823/17699/

お示しの微分方程式は、
　dv/dt = -(k/m)(v - mg/k)
と書いて、変数を
　p = v - mg/k
とおけば
　dp/dt = dv/dt
なので、微分方程式は
　dp/dt = -(k/m)p
という単純な「変数分離型」になります。
　∫(1/p)dp = -(k/m)∫dt

これにより
　log|p| = -(k/m)t + C1　　（C1：積分定数）
→　p = ±e^[-(k/m)t + C1]
　　　= ±e^C1･e^[-(k/m)t]
　　　= C･e^[-(k/m)t]　　（C = ±e^C1)
p を元に戻して
　v - mg/k = C･e^[-(k/m)t]
→　v = C･e^[-(k/m)t] + mg/k

あとは初期条件で「定数 C」の値を特定すればよいです。

この形の微分方程式は物理では「定番」ですから、マスターしておいた方がよいです。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/10/30 10:04

NO2 です。

条件反射で一般論書いてしまったけど

>方程式の対角化で単変数と時刻の線形微分方程式2本に分解できます。

このケースでは最初から分解してますね。申し訳ない。
x方向とy方向で独立に定数係数線形微分方程式を解くだけです。

個人的にはごちゃごちゃ考えずに機械的に解ける
ラプラス変換を推奨したい(大学生なら)。