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[A]
1/{z^2(z+1)^2} = (a/z) + (b/z^2) + {c/(z+1)} + {d/(z+1)^2}
ではうまくいきます。
[B]
一般論として、
1/{P(x)Q(x)} を A/P(x) + B/Q(x)
の形に分解する場合、AはP(x)より次数が1小さい多項式、BはQ(x)より次数が1小さい多項式とすればいいと考え
1/{x^2(x+1)^2} = (ax+b)/x^2 + (cx+d)/(x+1)^2
= a/x + b/x^2 + (cx+d)/(x+1)^2
としたのですが、結果はおかしいです。なぜでしょうか?
1 = ax + b(x+1)^2 + (cx+d)x^2
x = 0 ⇒ 1 = b
x = -1 ⇒ 1 = - a - c + d ……①
x = 1 ⇒ 1 = a + 4 + c + d ……②
①+②
2 = 4 + 2d ∴d = -1
x = -1/2 ⇒
1 = -a/2 + 1/4 + (-c/2-1)/4
= -a/2 + 1/4 - c/8 - 1/4
8 = -4a - c
c = -4a - 8
①より
1 = - a - c + d
= - a - (-4a-8) - 1
= 3a - 7
a = -2
c = -4a - 8 = 0
この結果を ax + b(x+1)^2 + (cx+d)x^2 に代入しても
1/{x^2(x+1)^2} ≠ -2/z + 1/z^2 - 1/(z+1)^2
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