類別するときになんでよく無視するって言うんですか？あんまり意味がわかりません。たとえば剰余群 Cq(

類別するときになんでよく無視するって言うんですか？あんまり意味がわかりません。たとえば剰余群
Cq(K)/Cq(L) はKのチェインであってLに含まれる単体の部分をむししたもの

とか

質問者からの補足コメント

• あのもひとつしつもんいいですか？
  ~=Zってすうがくしゃさんはなんてよみますか？
  整数に同型？？

    補足日時：2023/12/13 14:02

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/12/13 09:15

例えば

0次元単体点a0
0次元単体点a1
0次元単体点a2
0次元単体点a3
1次元単体線分<a0,a1>
1次元単体線分<a1,a2>
1次元単体線分<a2,a3>
1次元単体線分<a3,a0>
複体
K={<a0,a1>,<a1,a2>,<a2,a3>,<a3,a0>,a0,a1,a2,a3}
複体
L={<a3,a0>,a0,a3}
とすると
K⊃L

Kの1次元鎖群
C1(K)={t0<a0,a1>+t1<a1,a2>+t2<a2,a3>+t3<a3,a0>|t0,t1,t2,t3∈Z}～Z^4
Lの1次元鎖群
C1(L)={s<a3,a0>|s∈Z}～Z

C1(K)/C1(L)～Z^4/Z～Z^3～{t0<a0,a1>+t1<a1,a2>+t2<a2,a3>|t0,t1,t2∈Z}
は
Lに含まれる単体<a3,a0>の部分を無視したもの

この回答へのお礼

ありがとうございますʕ•̀ω•́ʔ✧

お礼日時：2023/12/13 09:17

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/13 14:10

類別は、もともと集合論上に直接定義される素朴な概念ですが、

数学の多様な分野で、その分野に応用た道具として使用されます。

類別の定義は、以下のようなものです。
集合 S の部分集合の集まりで、集合 Λ の元で添字付けられたもの
H_λ (λ∈Λ) が以下の条件を満たすとき、{ H_λ ｜ λ∈Λ } を
S の「類別」といい、類別の元である個々の部分集合を「類」という。
網羅性： ∪[λ∈Λ] H_λ = S.
排他性： λ≠μ ⇒ H_λ ∩ H_μ = φ.

要するに、もとの集合の元を、洩れなく、重複なく、部分集合へ分類しよう
ということです。

集合 S の類別がひとつ与えられたとき、S の元 x,y について
x〜y ⇔ (x,yが同じ類に属する) によって S 上の関係 〜 を定義すると、
〜 は同値関係になります。
逆に、S 上に同値関係 〜 があれば、
S/〜 = { {x｜x〜a} ｜ a∈S } によって類別 S/〜 が定義できる。
このように、類別と同値関係は表裏一体の関係にあります。

代数の入門書の多くでは、記述が簡単なことから
同値関係から類別を定義するのが主流です。

ポイントは、類別のほうがもとの S より小さい集合であることです。
S の持つ性質を考えてゆくとき、同じ類に属する S の元の間の違い
は「無視して」、類ごとに持つ性質に注目しようという考え方です。
この考え方は、巨大で複雑な集合の性質を分析するとき、役に立ちます。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/13 14:27

単なる集合を類別しても、ただ分けたというだけですが、

もとの集合が何かしらの構造を持つ場合、うまい同値関係を選んで類別すると、
類別のほうにもとの集合の構造の一部を反映することができます。

例えば、群 G とその部分群 H について、G の元 x,y の間に
x〜y ⇔ x(y^-1)∈H によって関係 〜 を定義すれば、
〜 は同値関係であり、類別 G/〜 を考えることができます。
更に、H が部分群の中でも正規部分群と呼ばれる特殊なものだった場合、
(x〜a かつ y〜b) ⇒ xy〜ab が成り立つことになり、
G/〜 の上に G の群演算から派生する演算が定義できます。
G/〜 はこの演算によって群になります。
この群を G の H による「商群」といい、G/H と書きます。
群 G/H は群 G の性質の一部を取り出したものと考えることができ、
G を調べる上で有用な道具となります。

うまい同値関係を見つけることが鍵です。
群なら、正規部分群を使って 〜 を作れば商群が定義でき、
環なら、イデアルを使って 〜 を作れば商環が定義でき、
体なら、部分体を使って 〜 を作れば補空間が定義できます。
このとき、もとの構造の元で同じ類に属するものどうしの違いは
「無視」されています。そうすることで、構造を簡素に要約して
より扱い易い小規模なもので考えることができるのです。

この回答へのお礼

なるほど。めちゃわかりやすかたです。

お礼日時：2023/12/14 09:01

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/12/13 14:46

質問では、Cq( ) という記号の意味を説明していませんが、

慣用からいっておそらく、
単体復体 K 上の q-鎖の集合を Cq(K) と書いているのだと思います。

Cq(K) は K の q次元の辺を生成系とする自由 Z-加群なので、
L が K の辺であれば Cq(L) は Cq(K) の部分加群であり、
前述のような意味で商加群 Cq(K)/Cq(L) を考えることができます。

Cq(K)/Cq(L) の元は、Cq(K) の元を K 上の q-鎖 の線型結合で表示したとき
L 上の q-鎖 に掛かる成分に違いがあっても、それ以外の成分が同じなら
同じものとして扱ったものです。つまり、Cq(L) の元だけの差を「無視」した
ことになりますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます(｡>﹏<｡)

お礼日時：2023/12/14 09:01