数Aの問題です。 （2）がわかりません。答えは（x,y,z)=(2.3.6)(2.4.4)(3.3.

数Aの問題です。
（2）がわかりません。答えは（x,y,z)=(2.3.6)(2.4.4)(3.3.3)です。
解説お願いします！

No.4 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/09 21:46

x≦y≦z

1/x+1/y+1/z=1…(1)
↓両辺から1/xを引くと
1/y+1/z=1-1/x…(2)
↓0<1/y+1/zだから
0<1-1/x
↓両辺に1/xを加えると
1/x<1
↓両辺にxをかけると
1<x
↓xは自然数だから
2≦x…(3)

x≦y
↓両辺をxyで割ると
1/y≦1/x…(4)

x≦z
↓両辺をxzで割ると
1/z≦1/x…(5)
↓これと(4)を加えると
1/y+1/z≦2/x
↓両辺に1/xを加えると
1/x+1/y+1/z≦3/x
↓(1)から
1≦3/x
↓両辺にxをかけると
x≦3
↓これと(3)から
2≦x≦3
↓xは自然数だから

x=2 または x=3

y≦z
↓両辺をyzで割ると
1/z≦1/y
↓両辺に1/yを加えると
1/y+1/z≦2/y…(6)

x=2 のとき…(7)
↓(2)から
1/y+1/z=1/2…(8)
↓両辺から1/yを引くと
1/z=1/2-1/y
↓0<1/zだから
0<1/2-1/y
↓両辺に1/yを加えると
1/y<1/2
↓両辺に2yをかけると
2<y
↓yは自然数だから
3≦y…(9)
(8)から
1/2=1/y+1/z
↓これと(6)から
1/2≦2/y
↓両辺に2yをかけると
y≦4
↓これと(9)から
3≦y≦4
↓yは自然数だから
y=3 または y=4
y=3のとき…(10)
↓これを(8)に代入すると
1/3+1/z=1/2
↓両辺から1/3を引くと
1/z=1/6
↓両辺に6zをかけると
6=z
↓これと(7),(10)から
(x,y,z)=(2,3,6)…(11)

y=4のとき…(12)
↓これを(8)に代入すると
1/4+1/z=1/2
↓両辺から1/4を引くと
1/z=1/4
↓両辺に4zをかけると
4=z
↓これと(7),(12)から
(x,y,z)=(2,4,4)…(13)

x=3 のとき…(14)
↓(2)から
1/y+1/z=2/3…(15)
2/3=1/y+1/z
↓これと(6)から
2/3≦2/y
↓両辺に3y/2をかけると
y≦3…(16)
↓3=x≦yだから
y=3…(17)
↓これを(14)に代入すると
1/3+1/z=2/3
↓両辺から1/3を引くと
1/z=1/3
↓両辺に3zをかけると
3=z
↓これと(14)(17)から
(x,y,z)=(3,3,3)
↓これと(11),(13)から

(x,y,z)=(2,3,6) または
(x,y,z)=(2,4,4) または
(x,y,z)=(3,3,3)

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/02/09 18:32

1 ≦ x ≦ y ≦ z から 1/x ≧ 1/y ≧ 1/z が成り立つ。

1 = 1/x + 1/y + 1/z ≦ 1/x + 1/x + 1/x = 3/x
より x ≦ 3 となる。

x = 1 のとき、1 + 1/y + 1/z = 1.
この式を満たす正数 y,z は存在しない。

x = 2 のとき、1/2 + 1/y + 1/z = 1.
1/y ≧ 1/z が成り立つから、1/2 = 1/y + 1/z ≦ 1/y + 1/y = 2/y
より y ≦ 4 となる。
x ≦ y ≦ 4 を満たす自然数 y = 2, 3, 4 を原式へ代入してみると、
z が自然数になるのは (x,y,z) = (2,3,6), (2,4,4) の場合である。

x = 3 のとき、1/3 + 1/y + 1/z = 1.
1/y ≧ 1/z が成り立つから、2/3 = 1/y + 1/z ≦ 1/y + 1/y = 2/y
より y ≦ 3 となる。
x ≦ y ≦ 3 を満たす自然数は y = 3 に限られる。
このとき,(x,y,z) = (3,3,3) は解となっている。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/02/09 12:05

x、y、ｚはいずれも 1 になれない。

2以上が必要。
全てが3以上になるのは x=y=z=3 の時だけ。
他の組み合わせでは 1個以上2が必要

とすると
x=y=z=3 の他は候補として
x=2, y=2, z=?
x=2, y=3, z=?
x=2, y=4, z=?
しかない
x=2, y≧5 だとz≧5 なので

1 - 1/2 - 1/y - 1/z ≦ 9/10 だから 和が 1 になれない。

後はあてはまる整数値 z を探すだけ。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2024/02/09 11:09

整数問題なので　条件を絞っていけばいい

もし　x=1なら　1/y , 1/z は0ではなく　全体として　1を超えるので
1<x である　.............(1)
また　また　項が3つあるので　x=y=z=3 のとき成り立つのはわかる
...............(2)
故に　xが４以上になると　1/y , 1/z は1/4より小さい値で全体として
１以下になるので
x=2の場合を考えればいい　よって
1/y + 1/z =1-1/2=1/2
∴(y+z)/(yz)=1/2
∴yz=2(y+z)
2<y<=z なので　
y=3 なら　３z=２(３＋z)　　　∴z=6
y=4 なら　４z=２(４＋z) 　 　∴z=4
y=5 なら　 5z=2(5+z) zは整数にならないので不適
y=6 なら　 6z=2(6+z) zは整数にならないので不適
y=7 なら　7z=2(7+z) zは整数にならないので不適
y=8 なら　8z=2(8+z) zは整数にならないので不適
y=9 なら　１/２　＋1/9＋１/９は1にならないので不適
したがって　
答えは（x,y,z)=(2.3.6)(2.4.4)(3.3.3)