xについての2次方程式x²-2mx+2m+7=0の解がともに整数となるような整数mをすべて求めよ と

xについての2次方程式x²-2mx+2m+7=0の解がともに整数となるような整数mをすべて求めよ
という問題の解答でx²-2mx+2m+7=0の解をα,βとするとx=m±√(m²-2m-7)より
α+β=2m、αβ=2m+7
となっているのですが、何が「x=m±√(m²-2m-7)より」なんでしょうか？

「α+β=2m、αβ=2m+7」となるのは分かるのですが、それはx²-2mx+2m+7=0から読み取れることで、x=m±√(m²-2m-7)は必要ないように思います。

なぜ「x=m±√(m²-2m-7)より」が必要なのか教えて欲しいです。

質問者からの補足コメント

• 問題集の解答を引用しただけなのでそれは私に言われても困ります

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2024/04/27 20:48

No.5 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/04/27 21:25

この問題についていえば不要だねぇ. α+β=2m, αβ=2m+7 から素直に処理しても解けるし.

No.8 回答者： AっKI 回答日時： 2024/04/28 15:28

方程式の解が

x=m±√(m^2-2m-7)
なのだから
α＝m+√(m^2-2m-7)
β=m－√(m^2-2m-7)
とでもして
α＋βとαβを計算すればその式になる、ということ。
無論、解と係数の関係を使ってストレートに出しても構わない。
この解答では解からα＋βとαβを計算している、ということ。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/27 22:20

＞ なぜ「x=m±√(m²-2m-7)より」が必要なのか教えて欲しいです。

という質問については、No.3 No.4 が回答している。
No.6 の答えは、例によっていつもの規約違反だよ。
丸写しできる解答だから、たぶんベストアンサーになるんだけど。

No.6 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/04/27 21:57

x=m±√(m²-2m-7)が整数となるために必要

x^2-2mx+2m+7=0
(x-1)(x-2m+1)+8=0
(x-1)(x-2m+1)=-8

xが偶数と仮定すると
x-1は奇数
x-2m+1も奇数
左辺奇数となって右辺が偶数に矛盾するから
xは奇数
x-1は偶数
x-2m+1も偶数
だから
x-1=±2　または　x-1=±4

x-1=2のときx-2m+1=-4
x=3
x-1-(x-2m+1)=2m-2=6
2m=8
m=4

x-1=4のときx-2m+1=-2
x=5
x-1-(x-2m+1)=2m-2=6
2m=8
m=4

x-1=-2のときx-2m+1=4
x=-1
x-1-(x-2m+1)=2m-2=-6
2m=-4
m=-2

x-1=-4のときx-2m+1=2
x=-3
x-1-(x-2m+1)=2m-2=-6
2m=-4
m=-2

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2024/04/27 21:01

＞なぜ「x=m±√(m²-2m-7)より」が必要なのか教えて欲しいです。

問題文に「解がともに整数となるような整数m」と書いてあるから、
「α+β=2m、αβ=2m+7」だけでは 答えが出せないでしょ。
つまり x=m±√(m²-2m-7) の ルートの中が 整数の2乗になる。
m²-2m-7=(m-1)²-8=s² とすれば 後は見当が付きますよね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/04/27 20:21

＞ 何が「x=m±√(m²-2m-7)より」なんでしょうか？

x についての2次方程式 x²-2mx+2m+7=0 の解が、
与えれれた m に対して x=m±√(m²-2m-7) だということ。

その「解答」は、その後
この m±√(m²-2m-7) が整数になる条件を考えている。
まあ、それで正しいは正しいのだけれど...

もっと常識的な解法としては、x²-2mx+2m+7 を平方完成
するために x-m = t とでも置いて、
x²-2mx+2m+7 = (x-m)²-m²+2m+7
　　　　　　　= t²-(m-1)²+8
　　　　　　　= (t+m-1)(t-m+1)+8.
これが =0 となるために、t+m-1 と t-m+1 が
差が偶数の整数の対 であることから
8 の因数分解を絞ってゆけばよい。

No.2 回答者： ssawatake 回答日時： 2024/04/27 20:19

解と係数の関係より「α+β=2m、αβ=2m+7」になるのは確かな事。

問題はそこじゃ無くて、「α、βが共に整数になる様なmを求めよ」なんだ。

「α+β=2m、αβ=2m+7」から、ドーやってα、βが共に整数になる様なmを求めるの？？

試行錯誤でやるのかい？？

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/04/27 20:04

そうも言えるが、自然ではなく、普通はそんな言い方はしない。

ひねくれ過ぎている。