ポアソン過程のジャンプは必ず1であることの証明

母数λのポアソン過程N(t)（N(t)が平均λtのポアソン分布に従うLevy過程、別の言葉で言えば法則の意味の加法過程、定義をはっきり述べると、定常増分、独立増分で、確率連続な確率過程）のサンプルパス（標本路＝見本路）はジャンプを持ちますが、そのジャンプの幅が1であることを証明することはできますか？あるいはその記述のある書物をご存知あらば教えてください。

ポアソン過程を指数分布（待ち時間の分布）から具体的に構成してやればこのことは自明ですが、上は法則による定義です。したがってサンプルパスに制限がかかっていないので、直接証明をすることができずにいます。法則同値を言うだけで結論は従うものなのでしょうか．．．

No.1 回答者： kony0 回答日時： 2005/07/07 01:01

あまりよくわかってないので的外れだったらごめんなさい。

ポアソン過程は、その定義に「希少性」って入っているのではないでしょうか？

この回答へのお礼

コメントありがとうございます。希少性、独立性、定常性を元にした定義もあるのかも知れませんが、今考えている問題は、
(P1)　N(t)=0　a.s.
(P2)　N(t)は独立増分、かつ定常増分。
(P3)　N(t)は確率連続。
(P4)　N(t)は平均λtのポアソン分布に従う。
という4つの条件のみを満たすような確率過程N(t)に、いわゆる希少性のような性質が存在するか？ということです。言い換えれば希少性は上記4条件に内在されているか、あるいは希少性まで付け加えたければ、新たに(P5)としてそれを明記しないといけないのか、という問題です。

お礼日時：2005/07/07 10:20