塾講のバイトをしています。
数学で循環小数の分数化のところをやっていて思い出したのですが、
たとえば、1.111・・・という循環小数を分数にする際
X=1.111・・・とし、10X=11.111・・・としてから
10X-X=10.0
   X=10/9
となり、これはこれでいいのですが、0.999・・・で同じことをすると
「1=0.999・・・」となってしまいます。
これは僕がまだ高校生だったときに妹に質問されて気がついたのですが、
久しぶりに思い出しら、やっぱり気になって仕方ありません。
僕は文系なので高校程度の数学までしかわかりません。
よろしければ教えてください。

A 回答 (13件中1~10件)

1に限りなく近い数。

それは1です。

普通の解析学で扱う実数では、「1と異なるが1に限りなく近い数」というものはありません。

 普通の解析学とはちょっと違う、「超準解析学(nonstandard analysis)」においては、実数の概念を拡張した数’を扱います。普通の実数は全て数’ですが、その他に、絶対値が「無限小である」という性質を持つ数’(これは実数ではありません)と、その逆数、すなわち絶対値が「無限大である」という性質を持つ数’(これも実数ではありません)も一緒に扱うことによって、極限(lim)を使わないで微積分を扱えるのが特徴です。
では超準解析学において、1に限りなく近い数’は?といいますと、これもまた一つには決まらないのです。1+ε (ただしεは無限小)がそのような数’であって、勿論これは実数ではありません。これはどんな実数よりも1に近く、しかも1ではない。
 ところが、どんな無限小εを持ってきても、それよりさらに絶対値が小さいが0ではない、という無限小が幾らでも存在します。
 かくて、「1に限りなく近いが1ではない数(或いは数’)」というものはない。
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No.4で回答した者です。


別の論法で説明します。
0.999…を α とおきましょう。
Aを1以上の実数の組、Bをそれ以外の実数の組に分けます。1はAの最小値ですね。この場合のように、A(大きいほうの組)に最小値が有る場合、B(小さいほうの組)には最大値が有ってはいけません。実数をそう定義したからです。ところが、実数 α はBに属すると仮定すると、α はBの最大値ですね。これは実数の定義に反します。よって α はAに属します。故に α = 1です。

>では1に限りなく近い数とはどう表現されているのですか?

Bに最大値は無いので、「(1より小さく)1に限りなく近い数」はありません。
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実数の範囲でお話します。

限りなく近いということは「同じ」とみなします。ここでいわれている1と0.999…がわかりやすい例でしょう。
詳しくはε-δ論法を学んでください。
では異なる実数で1番近いのは?というと、そのような実数はありません。。。
(No.6での話になりますが。。。)
仮に
実数aが1に1番近いとします。
ここで、(1+a)/2を考えると、こっちのほうが近くなりますよね?
もちろん、(1+a)/2も実数です。
ならば
実数aが1番近い仮定に矛盾しますね。
よって、1番近い実数はないとなります。
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stingrayさん、「さらに簡単・・」になっているのかなあ。


「○○と仮定」なんて、小学生はやってないと思いますよ。
さいしょから、1÷3=0.333・・・のほうが小学生っぽいんじゃないかなあ。

ところで、
>僕は文系なので高校程度の数学までしかわかりません

すごいじゃないですか。いまや、文系の大学生は、小学生の算数もできないらしいですから、「高校程度」で二次関数でもできたらたいしたもんですよ。
(たぶん、回答者のみなさんは「高校程度」ならこのぐらいの説明で理解できるだろう、ということなのでしょうね。「背理法」なんか、私は好きですが。)
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この回答へのお礼

 こんなに短時間で多くの返事がくるとは思っていなかったのでびっくりしています。過去の回答も含め、必死で読んでいます。
 皆さんにここでまとめてお礼をすることをお許しください。
 つまり、解析学の範囲では「1=0.999・・・」は正しい等式であるということがちゃんと証明(定義)されているんですね。
 どうも素人目では0.999・・・というと1に限りなく近い実数(1より小さい)と思ってしまうんですが、難しいですね。
 では1に限りなく近い数とはどう表現されているのですか?またそれは実数なんでしょうか。おかしな質問だったらごめんなさい。
 僕自身も過去の回答なりを探してみますので良かったら参考になるURLを教えてください。
 

お礼日時:2001/11/14 15:27

じゃ小学生でも分かる程度で。


(nozomi500さんの回答をさらに簡単に詳しく。)

1=0.999…と仮定。

両辺を3で割ると,

1/3=0.999…/3

簡単にすると,

1/3=0.333…

両辺に3をかけると,

1×3/3=0.333…×3

簡単にすると,

1=0.999…

これでいいのかな?
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  No.7 の人の回答の参照URLで、「超準解析」について出ていますので、わたしが何かいうことはないとも言えます。付け加えるとすると、1.000000……を1と定義し、0.999999……を1と定義しているのです。これは、解析学で、そのように定義しているということで、0.99999……と1のあいだには、数がないというのは、解析学の範囲での話です。数学の場合、「拡張」という操作があり、0.99999……と1のあいだに数があるとして、この数を、s数とか定義すると、数の拡張が起こります。このような実数の解析学的定義を超えた拡張を、「超準解析」というのです。これは、non-standard analysis の訳で、「通常でない」という英語の言葉を、「超準」という難しい言葉に訳しているのです。
 
  解析学の範囲では、0.99999……を1と定義しているというのが答えです。
  (何故、こう定義するかというと、数の一対一対応で、こう定義しないと、おかしなことが生じるからです。デルタ・エプシロン論法での証明も、実は、数の一対一対応性を満たそうとすると、そういう証明になるのです。数の拡張という数学の手法から言うと、必ずしも、0.9999……=1ではないということも言えるのです)。
 
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質問検索に「0.999」と入力して検索してみると、過去の質問・回答がいっぱい出てきます。



最も精密な説明は下記URLではないかと、お勧めしちゃいます。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=32339
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たくさんの人が回答しているのでちょっとだけ。

。。
実数には
「異なる2つの実数の間には必ず(ほんとは無限個)2数と異なる実数がある。」
という定理があります。
もし1と0.999…が違う数とすると、その間に異なる実数がないといけません。
あるでしょうか?(探してみて下さい。)
答えは「無い」です。
なんで1=0.999…
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「1=0.999・・・」は正しい式です。



背理法によるアバウトな証明をしてみましょう。

もし、1≠0.999…だと仮定すると、
その差 1-0.999… = a
は正のゼロでない数である。

a を小数で表すと、0.000… と続きそうであるが、
ある桁でゼロでない数が表れるはずである。

さて、ここで循環しない小数を使い、
1-0.999…9 = b
を考える。
左辺の 9 の個数を好きに選べるとする。
b は 9 の個数に応じた 0.000…1 という形になる。

このとき 9 を充分な個数使えば、
a より小さくすることが可能である(a は小数点以下の
ある桁でゼロでなくなるのだから)。
すなわち、 a > b である。

しかし、
0.999…(循環する)> 0.999…9 (循環しない)
であるから、a < b となって矛盾が生じる。
この矛盾は 1≠0.999… の仮定が間違っているからである。
すなわち、1=0.999… は正しい。

あくまでアバウトですが。
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ご質問の文面から、極限の意味を説明すればよいと思いました。


まず、
1-0.999…
= lim10^(-n) = 0を証明すればいいのですが、
n→∞

極限の一般論を言うと、
lim f(x) = 0
x→∞

とは、「xを大きくすることによって、f(x)をいくらでも小さくできる」
ということを表します。これを少しだけ専門的な言葉で言い換えると、
「どんな小さい ε > 0を選んでも x > δ ならば f(x) < ε となる δ が存在する」
となります。
どんなに小さい ε でも ε > 10^(-n)
と表せるnは存在しますね。(nを整数に限っても)
故に、
lim10^(-n) = 0です。
x→∞

よって
1 = 0.999…です。
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