投げられたコインの確率の問題です・・・

一枚のコインを五回なげて、
二回連続で表がでる確率を求めよ、という問題があったんですが、なんとか樹形図をかいてもとめることはできました。しかし、試験中に図を書いてもとめていると、時間がまちがいなくたりなくなります。
計算でもとめる方法はあるのでしょうか?いろいろ
CをつかったりPをつかったりして考えているのですが、1年でやったことなので忘れてしまっているみたいです。
ちなみに今は高校二年です。

No.2 ベストアンサー 回答者： 123isao 回答日時： 2005/10/05 22:14

a.1回目と2回目に表が出る確率。

b.2回目と3回目に表が出る確率。(1回目と2回目で連続しない)
c.3回目と4回目に表が出る確率。(1回目と2回目で連続しないかつ2回目と3回目で連続しない)
d.4回目と5回目に表が出る確率。(1回目と2回目で連続しないかつ2回目と3回目で連続しないかつ3回目と4回目で連続しない)
これらの確率を足せばいいです。

○は表、×は裏とします。-は表裏どちらでもいいです。
a.○○---　1回目と2回目以外は何でも良い
1/2*1/2*1*1*1=1/4
b.×○○--　1回目は2回目と○が続かないように必ず×
1/2*1/2*1/2*1*1=1/8
c.-×○○-　2回目は3回目と○が続かないように必ず×
1*1/2*1/2*1/2*1=1/8
d.　3回目は4回目と○が続かないように必ず×
×××○○
○××○○
×○×○○
3/32

これらを足して19/32
樹形図書いたほうが早いかもしれないですね。

No.3 回答者： pori_boy 回答日時： 2005/10/06 20:34

こんばんは

まず、結論を書くと計算で求めることはできます。
つまり、10回とか100回とかでも計算できます。
ただ、この計算で求めるというのが簡単かというと
樹形図を書くのと比べるとかなり難しいので、
高校生の試験問題の解答としてはそぐわないです。
＃以下のアイディアのうちの一部を使えば、
　例えば10回くらいなら樹形図よりも
　速く数えることはできると思います。

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1枚のコインをk回なげて、2回連続で表がでる確率を
求めよという一般的な問題を考えます。

求めたい事象の場合の数をf(k) と書くことにして、
計算のためにg(k) と h(k) というのを定義します。
g(k): k回投げたとき、2回連続で表がでておらず、
　　　かつk回目になげたのが表という場合の数
h(k): k回投げたとき、2回連続で表がでておらず、
　　　かつk回目になげたのが裏という場合の数

このとき、f(k)+g(k)+h(k) = 2^k となることと、
求めたい確率は f(k) / 2^k となるのは基本かな？

次に、f,g,h に関して漸化式をたてます。
細かい説明は省きますが、以下の漸化式を得ます。
f(k) = 2f(k-1) + g(k-1)
g(k) = h(k-1)
h(k) = g(k-1) + h(k-1)
(初期条件： f(1)=0, g(1)=1, h(1)=1 です)

ここまでが理解できれば、5回とか10回のときは
1から順番に計算すれば求めることができます。

あとはこの漸化式をがんばって解けばよいのですが
ちょっと大変そうですね。
解くためには、gの式をhの式に代入することで、
hだけの式を得て、まずこれを解きます。
なお、このhの式は、フィボナッチ数列と
呼ばれる数列の漸化式になっているので、一般のkの
時の値を、テスト中でなければ調べればOK.
（もちろん、自力で求めることも可能です）
hが求まれば自動的にgは求まります。
最後にfですが、これをまじめにやるとまた大変なので
基本とかいたところの式を変形したものに、
gとhのところでえた結果をいれてやると完成します。

最後に結果だけ書くと、求める確率は
フィボナッチ数の一般項をa(k) と書くと
(2^k - a(k+1) - a(k)) / 2^k となります。

フィボナッチ数： 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,...

k=5 だと (32-8-5)/32 = 19/32
k=10なら (1024-89-55)/1024 = 55/64 となります

No.1 回答者： noname#19296 回答日時： 2005/10/05 21:06

仰るとおり樹形図を書かないととてもできそうにありません。

だから10回とか100回ではなく、５回にしてあるのではないですか？！

余事象は使いました？二回連続で表は出ない場合のみ探せば、表を○、裏×として、樹形図で○→○と続く場合を書かずに済みます。
全部書けば、2^5＝32通りですが、余事象を考えると13通りになります。
あれっ、これ答になるかな？
1-13/32＝19/32
答が合ってるかどうかだけ教えて下さい。（あれっ？こっちが教えてく下さいだって？！！！）