誰か助けて！！

１、期待値の最大化
　仕入価格１００円、売値３００円の弁当である。一日に売れる数量Xの確率はF(X)で、その値はF(1)=F(2)=・・・＝F(10)=1/１０であった。その他の数量が売れる確率はゼロである。一日の利益の期待値が最大になる仕入れ量ｎと、その期待利益はいくらか？


２、確率変数の和の期待値と分散
　今冬の気候に影響される３つの株式の半数後の収益率（％）を検討したところ、長期予報の確率とともに、次表の結果を得た。半年後の利益を考えて、君ならどのような投資をするかを、分散投資を前提に、その方法を具体的数値を示して述べよ。
株式銘柄　暖冬　並み　厳冬　期待値　　　標準偏差
　A　　　－４　１２　２２　１０．００　１０．７１
　B　　　１０　 ８　　５　　７．６７　　２．０５
　C　　　５　　 ９　　９　　７．６７　　１．８６
予報確率　1/3 1/3 1/3

お願いします。

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2002/01/05 22:50

１番だけは解けました。

まず、1,2,3個仕入れた場合の利益期待値Gain(X)を計算してみます。このとき、X個仕入れた場合を考えやすいようにしてみます。
１個仕入れた場合:
　Gain(1)=F(1)*200+F(2)*200+...+F(10)*200=200

２個仕入れた場合:
　Gain(2)=F(1)*200*2+F(2)*200*2+...+F(10)*200*2
　　　　　-(F(1)*(300))　　　　　　　　　　　　　=400-30=330
＃１個しか売れなかった場合の利益は200(売れた分の利益)-100(売れなかった分の仕入れ価格)=100なのですが、ここではあえて200*2(２個とも売れた場合の利益)-300(売れなかったため得られなかった代金)と考え、別々にしています。

３個仕入れた場合:
　Gain(3)=F(1)*200*3+F(2)*200*3+...+F(10)*200*3
　　　　　-(F(1)*300*2+F(2)*300)　　　　　　　　=600-90=510

…ここまでくれば、X個仕入れた場合がどうなるかが見えてきます。
　Gain(X)=F(1)*200*X+F(2)*200*X+...+F(10)*200*X
　　　　　-(F(1)*300*(X-1)+F(2)*300*(X-2)+...+F(X-1)*300*1)
となりそうですね（当然、X=1,2,...,10です）。

この式を整理すると、
　Gain(X)=200X-15X(X-1)
　　　　=-15X^2+215x
　　　　=-15*(X-43/6)^2+(43/6)^2*15
となります。２次関数の性質から、実数の範囲ではGain(X)は43/6=7.16...で最大値を取ります。
やはり２次関数の性質から、X=1,2,...,10の中では7.16に一番近い7がGain(X)の値を最大にします。
つまり、一日の利益の期待値が最大になる仕入れ量は７個で、その期待利益は
　Gain(7)=200*7-15*7*(6-1)
　　　　=770
より、７７０円となります。

＃半分のみの回答ですので「自信なし」にいたします。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございました。おかげさまで問題を理解し、無事レポートを提出することができました。また何かありましたらご指導よろしくお願いします。

お礼日時：2002/01/06 23:37

No.2 回答者： kony0 回答日時： 2002/01/08 01:22

もうレポートは提出されたとのことですが、２番についてです。

言い切ってしまうと、この問題の条件では、一意に答えは定まりません。
それはなぜかというと、「君」がどのような指向性があるかが不明瞭だからです。
俗に言う、「危険回避者」「危険中立者」「危険愛好者」というやつです。
すなわち効用関数というものを定義する必要があります。
一般的な効用関数として、u=μ-(1/2)λσ^2というのがあるかと思います。まずはあなたの指向性にあったλを決定した上で、投資比率を文字でおいて、効用関数の最大化問題を解く必要があります。
効用関数については、本屋さんかどこかで、証券アナリストの「証券分析」の本でも見てみてくださいね。
＃危険中立者、危険愛好者（λ<=0）ならば、Ａのみに全額投資することになるでしょう。問題は危険回避者に限定されるはずです。（分散投資を前提に考えていることから）

ちなみに、投資比率をA:B:C=a:b:(1-a-b)とすると、ポートフォリオ全体の平均は(7a+23)/3, 分散は・・・式が煩雑なので省略します(^^;)が、これを代入して、２次元の関数u(a,b|λ)ができあがるはずですので、これの最大化を考えます。
もし空売りが認められるなら、a,bに制約条件はなく、空売りが認められないならば、a>=0,b>=0,a+b<=1の範囲で最大化を求めることになります。