積分の計算ですが…

I_n =∫(0～Π/2) {sin(nx)/sinx} dx　(書き方が合ってるか分かりませんが" _ "の後ろのものは右下に付いてる小さいやつです。名前知らなくてすみません)、とするとき
I_(2n+2) －I_(2n) の値を求めよ　という問題があって、答えが０になるはずなんですけど、なりません。

一応やったのがこうです。
I_(2n+2)－I_(2n)
＝∫(0～Π/2){sin(2nx+2x)/sinx}dx－∫(0～Π/2){sin(2nx)/sinx} dx
＝∫(0～Π/2)[{sin(2nx+2x)－sin2nx}/sinx]dx
　　sinA-sinB= 2sin{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}より
＝∫(0～Π/2) {2 sinx cos(2nx+x)}/sinx dx
＝2∫(0～Π/2) cos(2nx+x) dx
　　t=2nx+xとおくとdx=dt/(2n+1)　　　x:0→Π/2 ⇒ t:0→nΠ+Π/2
＝2/(2n+1)∫(0～nΠ+Π/2)costdt
＝{2/(2n+1)}*[sint](0～nΠ+Π/2)
＝{2/(2n+1)}*sin(nΠ+Π/2)
となってしまいます。どうすれば良いでしょうか？
お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#5277 回答日時： 2002/01/31 17:02

僕も計算してみましたが、同じ結果になりました。

もう少し書き換えるなら、
　I_(2n+2)-I_2n=2{(-1)^n}/(2n+1)
とはなりますが。
ｎ→∞のときなら確かに０になりますが、、、、
問題が間違っているのではないでしょうか？

この回答への補足

問題が間違ってるとは思えないんですけど…。まあたまに印刷ミスありますけど。
nに2n+2を代入するということが間違ってるんですかねぇ…
どなたかお願いします。

補足日時：2002/01/31 17:23