初歩的なことですみません。角速度について

角速度といえばωで、高校のときは単位はrad/sでした。これはわかるのですが、大学で単振動に対する運動方程式(ma=-kx)を微分方程式で表す際、d^2x/dt^2=-ω^2x、ただしω=√(k/m)、単位はrad/sと定義しています。式の流れからなんとなくはわかるのですが、なぜ√(k/m)の単位がrad/sになるのか感覚的にいまいち理解ができません。
簡単なことなのかもしれませんが、気になるので詳しい方お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#21219 回答日時： 2006/04/26 10:47

まず、kの次元についてです。

質量の次元を[M],距離の次元を[L],時間の次元を
[T]とします。F=kxより
[M][L][T]^-2=[k][L]だから
[k]=[M][T]^-2です。
だから、k/mの次元は[T]^-2,
√すれば[T]^-1となります
つまり√k/mの次元は1/sとなります。

一方、ラジアンの単位ですが、これの次元はありません。ある角度x(°)のラジアンを求める時
π・x/180[rad]です。角度同士で割って円周率
という無次元量をかけているだけだから、無次元量
となります。ですから、rad/sと1/sの物理的次元は等しくなります。というか、等しくなり得ます。

次元解析で1/sとでたからといって、それが振動数
なのか、角振動数なのか、決められないということ
です。回数/sでも、rad/sでも共に
無次元量/sですから、次元解析の結果は同じです。
運動方程式の解として、x=Asinωtと与え、
d^2x/dt^2=-(k/m)xに代入したら
ω^2=k/mが得られるから、そしてωという文字は
あらかじめ角振動数として設定しておいたもの
だから、結果的に√k/mの次元はrad/sだった、という
ほかありません。物理問題に対する慣れという意味でなく、原理的に√k/mという量だけでは
完全にスケールが特定できないということでしょう。

この回答へのお礼

よくわかりました。とりあえず次元解析で等しくなり得るわけですね。
ただ感覚的に理解はやはり無理ですか。結果的に・・・というのもわかるのはわかるのですが、どうもしっくりこないので。まあωのことについてはもう式の中でなれたので問題はないのですが。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2006/04/26 22:40