x=0.9999・・・がx=1である事の証明

X=0.9999・・・がx=1である事を証明するために、
両辺に10をかけ
10x=9.9999・・・としたものから
-) x=0.9999・・・を引くと
--------------------
9x=9
x=1
とする方法がありますが
なぜ、こうなるのか？を中学生にどうやって説明すれば良いのでしょう？教えて下さい。
よろしくお願いします。

No.1 回答者： nanashisan 回答日時： 2000/12/23 12:46

1÷3=0.3333・・・

x÷3=0.3333・・・
ゆえに、x=1

この回答への補足

あぁっ、何を言ってるんだこの俺は！
なる訳ありませんよね？
重ね重ね申し訳ありません。トホホ・・・

補足日時：2001/01/11 20:37

この回答へのお礼

nanashisanさん、御回答ありがとうございます。
お礼、遅くなって申し訳ありませんでした。
えっと・・・nanashisanさんの回答のxに任意の数字を代入すると式が成り立たなくなりますよね？
私の質問の式だとxに任意の数字を入れても、式が成り立つんですよ。
不思議でしょう？

お礼日時：2001/01/11 20:34

No.2 回答者： ryumu 回答日時： 2000/12/23 12:50

もしかしたら、逆からの説明のほうが楽かもしれないですよ。

何かの本に書いてあった説明です。
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ＝１のとき、

ｘ／３＝１／３＝０．３３３３３３・・・・・

両辺に３をかけて、

ｘ＝０．９９９９９９・・・・・・

すなわち、１＝０．９９９９９９９９・・・・・
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

なんで、３で割るのかは・・・なんか意味があったような無かったような。

この回答へのお礼

ryumuさん、御回答ありがとうございました。
おおっ！ryumuさんのやり方でも1=0.999999・・・になりますね。
お礼遅くなりました。

お礼日時：2001/01/11 20:44

No.3 回答者： Astroia 回答日時： 2000/12/23 12:53

回答ではなくアドバイスですが参考になればと思います。

厳密に、つまり数学的に正しいとされる証明は、0.99･･･を等比数列の無限和として証明しなければなりません。
中学生相手にご説明なさるということですので、求め方は記述しません。
厳密でなければ、一番分かり易いのはこの方法ではないでしょうか？

1/3=0.33･･･
これは直感的にもわかりやすいですね。
両辺を3倍すると、
1=0.99･･･

この方法も、質問されている方法も極限値が存在するのを仮定しているのが不正確な点です。

私は数学の専門家ではないので専門家の方の補足をお待ちいたします。

この回答へのお礼

Astroiaさん、ありがとうございます。
ふむふむ、この方法も分かりやすいですね。
お礼が遅れて申し訳ありませんでした。

お礼日時：2001/01/11 20:52

No.4 回答者： c-chan 回答日時： 2000/12/23 13:21

わたしが中学生のときもこの謎にはまってしまいまして、秀才のN君からosafuneさんと同じように証明してもらったことがあります。

これは一応理解はできましたが、しかし納得できず、悩みました。やりかたの違う証明が複数あれば納得できそうです。
先の3件の解答もいっしょに紹介するのもひとつの案でしょう。

この回答へのお礼

c-chanさん、回答ありがとうございました。
お礼遅れてすみませんでした。

お礼日時：2001/01/11 20:56

No.5 回答者： tullio 回答日時： 2000/12/23 15:43

逆に私は自分自身が数学者ですが．．．

本当のことを教えるのが良いのではないでしょうか．

「つまり，『0.999…』ってのは『1』をややこしく書いただけなんだよ」

逆に言ってもいいかもしれませんが．．．

この回答へのお礼

お礼遅くなりました。
そうですね、みんな普通数学の世界では全てがハッキリカタがつく（ワリキレる）と思ってますよね。
ともあれ御回答ありがとうございました。

お礼日時：2001/01/12 20:15

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2000/12/23 17:16

0.99.... = 1を説明した後に、せっかくだから、極限の概念を導入的に解説するのに利用してはどうでしょうか。

0.9
0.99
0.999
:
という数列をイメージさせるんですね。また、
1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1
も一緒にやると、観点が広がって面白いと思うんです。

もうちょっとadvanceできる生徒さんなら、実数＝「無限小数の世界」の中に整数が埋め込まれる「同一視」の仕組みを説明したらどうでしょう。（まずは分数への埋め込みから入った方が、分かりやすいかも知れない。）
　これで、tullioさんのおっしゃる「本当のこと」が伝わるのでは？

この回答へのお礼

お礼遅くなりました。
＞1/2 + 1/4 + 1/8 + .... = 1
これもおもしろいですね。
ありがとうございました。

お礼日時：2001/01/12 20:17

No.7 回答者： Naka 回答日時： 2000/12/24 03:53

◆Naka◆

中学生ですか。
では、こんなのはどうでしょう？

「いつか返す」と言ってお金を借りていったヤツがいる。１日、２日たっても返さない。１ヶ月、２ヶ月、いや１年、２年、それどころか10年、20年経っても返さない。これは「返さない」と言っているのと同じだろう？？
それと同じで、0.9は0.9だ。そして0.99は0.99だ。だけど、0.999999999…と、どこまでも続けば、それはもう「１」と同じだぁ！

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2000/12/24 05:22

Nakaさん＜　それダメです。

返さないと決まったら、ただちに損金として処理できますが、返すと言いつつ返さないのは不良債権と申しまして、銀行が潰れるんです。

日本の銀行屋さんは数学苦手みたいですから、心配ですねえ。

osafuneさん、お邪魔しましたー

No.9 回答者： ieyasu 回答日時： 2000/12/25 06:59

中学生に、悩んでまで説明する必要があるのでしょうか？

だいたいにして、1/3＝0.333333・・・とするのも、
あくまでも近似値であり、決して「＝」ではないのでは？
「≒」だったと。。。。
私は、理系で国立大を卒業しましたが、
1/3＝0.3333333・・・・・　だとは思ったことはなく、
それでもちゃんと卒業できましたよ。（笑）
また、0.99999999＝1　　も、もちろん近似値であり、
それを無理矢理、１とする考えを押しつけても、
私のように信じないものは信じないです。
納得のいかないものは納得のいかないままでもいいことってあるのではないでしょうか？
　どうしてもそれを知りたいものは、自分でその道に進むでしょうし。
　とにかく、中学生に強引に理解させる範囲を超えていると考えるべきなのではないでしょうか？
　それより、もっと大事な教育があるはずです。現代の学校教育においては。。。

この回答へのお礼

お礼遅れてすみませんでした。
ええっと。私は教師じゃないんです。
この疑問をスッキリ解決してあげられるヒントが欲しかったもので・・・
回答ありがとうございました。

お礼日時：2001/01/12 20:24

No.10 回答者： Naka 回答日時： 2000/12/25 07:31

◆Naka◆

再登場です。
なるほど～、stomachmanさん、一本取られました。 (^o^)
損金と不良債権じゃ確かに違いますね。

それじゃあ、その中学生に実際に「１」から「0.999999999999…」を引き算させてみましょう。
「１-0.999999999999999…=0.000000000000000…」
「ほら！０じゃないか！差がないんだから同じ数だ！」
これでいかがでしょう？？
ieyasuさんのおっしゃるように、強引に真理を理解させる必要もないでしょう。

この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ありません。
＞「１-0.999999999999999…=0.000000000000000…」
これ、解り易いですね。参考にさせていただきます。
回答ありがとうございました。

お礼日時：2001/01/12 20:32