1と0.9999・・・・・・は、数学的に同じなのですか？

Question

タイトルの通りなのですが・・・。
1と0.9999・・・・・・は、数学的に『同じ意味』なのでしょうか？。

zk43 · Accepted Answer

0.9999…は極限値という意味です。
その極限値が１ということです。
0.9999…＝0.9+0.09+0.009+0.0009+…
＝9(1/10+1/100+1/1000+1/10000+…）
＝lim(n→∞）9[(1/10){1-(1/10)^n}]÷{1-(1/10)}
＝lim(n→∞）{1-(1/10)^n}
＝1
よく1/3＝0.3333・・・・の両辺に3を掛けて
1＝0.9999・・・・となるのはおかしいなどという人が
いますが、0.3333・・・・も極限値という意味で、その
極限値が1/3ということです。
一般的に、数列anのn→∞のときの極限値がAということは、
任意に設定したAの近く（A-xとA+xの間、xは任意の正の数）
に対してnを十分に大きくとればanはすべて、その設定した
Aの近くに入ってしまうという意味です。
高校数学では無限をイメージだけで取り扱っていますが、
大学１年で使う微積分の教科書の一番最初に、その取り扱いの
厳密な定義があります。

ONB · Answer

詳しい説明は一切省略しますが、数学的には、1も0.999……も、同じ実数をあらわしています。

表記が違うだけで同じ数を表す例はいくらでもあって、たとえば
1/2 = 2/4 = 0.5 = 0.500…… = √1/4 = 1/3 +1/6
などです。

1と0.9999……が同じ実数を意味していることは数学をある程度(大学1年レベルの実数論)勉強すれば必ず分かりますし、その気がない場合には数学的には一緒らしい、と覚えて置いてください。

No.8 さんのように、実数論に基づいていない見方(哲学的には違うものをあらわしているようにしか自分には見えない、など、基本的にまったく数学的でない。)に関しては各自の見解があるかもしれませんが、それについては数学とは別の問題です。

adinat · Answer

通常の実数論においては、0.999…は極限値lim{Σ9/10^k}のことであって、これは1に収束しますから、0.999…=1というのは正しいです。だから通常の実数論において、1と0.999…の値は等しい、というのならまったくもって正しいです。ただしたとえば超準解析においては、これらの値は厳密に異なる（0.888…は1から無限少数を引いた超準実数）と考えますし、あるいは他の方もご指摘なさっている通り、0.999…は値としては確かに1であるけれども、これは極限の記号なのであって、同じ意味とはいえない、ということです。"数学的に"と"同じ意味"というのを「数学的に厳密に」定義すべきでしたね＾＾

miniture_min · Answer

#2です。
目的地に近づいている状態と目的地に到着した状態は全然違うのと同じ事です。全く違います。

zk43 · Answer

補足ですが、
1と0.99000・・・・の２つの数を考えると、
1の近くとして0.999と1.001を設定すると、0.99000・・・・
はこの範囲に入れないので、1≠0.99000・・・です。

極限値の考え方からすると、
2＝1.999・・・・
0.3＝0.2999・・・
などとも表示できます。

kabaokaba · Answer

全く同じ意味です．単なる表記の違い程度の意味しかありません． 1/3=0.3333333333..... が表記の違いしかないのと同じです．後ろに``.....''をつけて3が「どこまでも続く」ことを表しているので，これは厳密に「=」です．これの両辺を3倍するという質問者さんの考えや厳密に考えるならNo.4さんのお話が完璧です 0.9999のように「どこかで止めた」ものは当然 1 ではでありませんが，本質的なのは 0.999999.........のように「どこまでも9を続ける」ということです．ちなみにこれを称して「無限に近いだけで異なる」という文脈がありますが，「無限に近い」というのは「同じ」ということです．二つの数a，bが「無限に近い」というのは二つの数の差a-bの絶対値が「無限に0に近い」ということです．これは，どんなに小さい正の数 e に対しても |a-b| < e が成り立つという意味だととれます，これは a=b と同値です．証明は簡単． a=b ならば |a-b|=0 0に対しても成立．逆に「どんなに小さい正の数 e に対しても |a-b| < e が成り立つ」と仮定します． aとbが異なるのであれば，c=|a-b|は0より大きいです．したがって，e= c/2 （cより小さければeは何でもいい）とおくと |a-b| > e ですこれは仮定に矛盾しています．よって a=b です．どんなに小さな正の数 e にたいしても 1-0.999....... < e となることの証明も簡単です．正の数 e をとる． eを小数で表記して，最初に0でない数が現われる桁をMとするそこで，e'=1/(10^{M+1})とおく e'

poohron · Answer

『同じ意味』です。

0.999...が1に等しいことの証明
http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...%E3%81%8C1%E3%81%AB%E7%AD%89%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%93%E3%81%A8%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E


また、ちょっと違和感を感じるかもしれませんが「1÷1＝0 余り1」として、
下記のように筆算を考えてみても１＝0.9999… が得られます。

　　０.９９９・・・・・　
　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
１）１
　　０
　　----
　　１０
　　　９
　　------
　　　１０
　　　　９
　　　-------
　　　　１０
　　　　　９
　　　　-------
　　　　　１０

googoogoof · Answer

1/3を三つたすと、1になりますよね。

1/3=0.3333・・・・・・。
0.3333・・・・・・を三つたすと0.9999・・・・・・。

ということは、1と0.9999・・・・・・は同じ意味になりませんか？。
どうなんだろうか・・・。
と言うことなのですが、
1/3=0.3333・・・・・・と言うのがそもそも間違いイコールでは結べませんもし表現するのならに
1/3≒0.3333・・・・・・
となると思いますが。

miniture_min · Answer

違う

gaball01 · Answer

確かに0.9999・・・・・・は１に無限に近いですが、数学的に考えて１と『同じ意味』ではありません。
例えば仮に
１＝0.9999
とすると、
１－0.9999・・・・・・＝０
ということになりますが、これは、0.9999・・・・・・が１に無限に近いということに反しています。

数学的な厳密な考え方はあるのかもしれませんが、これがわかりやすい考え方だと思いますがいかがしょう。

1と0.9999・・・・・・は、数学的に同じなのですか？

0.9999…は極限値という意味です。

この回答への補足

詳しい説明は一切省略しますが、数学的には、1も0.999……も、同じ実数をあらわしています。

通常の実数論においては、0.999…は極限値lim{Σ9/10^k}のことであって、これは1に収束しますから、0.999…=1というのは正しいです。

#2です。

補足ですが、

全く同じ意味です．

『同じ意味』です。

1/3を三つたすと、1になりますよね。

この回答への補足

違う

確かに0.9999・・・・・・は１に無限に近いですが、数学的に考えて１と『同じ意味』ではありません。

この回答への補足

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