dxdyの求め方

dx=rsinθ,dy=rcosθの時のdxdyはどのように求めればよいのでしょう？

答えにはrdrdθとあるのですが、分かりません。
dx=sinθdr-rcosθdθ
dy=cosθdr+rsinθdθ
なら分かるのですが・・・・

No.2 ベストアンサー 回答者： take008 回答日時： 2006/05/22 11:34

二重積分は

∫∫D f(x,y) dxdy と（慣習で）書きますが
∬D f(x,y) ∂(x,y) と書いた方が本質を表しています。
すなわち，∬ は二重積分というひとつの記号で，∫を２つではないし，
∂(x,y) は x,y 別々ではなく，Ｄ内の点(x,y)を考えています。
もっとも，∂(x,y)はx,yを微小変化させた時の面積の変化を意味するので，dx×dy なんですけど。
∂(x,y)を∂(r,θ)で表すと考えれば，No1 さんの説明に納得がいくと思います。
｜ａ ｂ｜
｜ｃ ｄ｜　（行列式）が平行四辺形(0,0)-(a,c)-(a+b,c+d)-(b,d)の符号付面積であることを思い出してください。

No.3 回答者： uyama33 回答日時： 2006/05/22 19:05

dx^dy=(sinθdr-rcosθdθ)^(cosθdr+rsinθdθ)

=(sinθcosθ)dr^dr+(sinθrsinθ)dr^dθ
-(rcosθcosθ)dθdr-(rcosθrsinθ)dθ^dθ
=(sinθrsinθ)dr^dθ-(rcosθcosθ)dθ^dr
=(sinθrsinθ)dr^dθ+(rcosθcosθ)dr^dθ
=rdr^dθ
のように計算します。
微分形式とか多変数解析学
の本を読んでください。

No.1 回答者： adinat 回答日時： 2006/05/22 10:07

合成関数の微分法だから、これは覚えていないといけない。

たとえばxが1変数rだけの関数なら、dx=(dx/dr)drとするのが高校生以来の置換積分の公式だった。2変数なら
dxdy=|∂(x,y)/∂(r,θ)|drdθ
です。ほとんどまったく同じ形をしているので、だから覚えやすいのです。

絶対値の中身、∂(x,y)/∂(r,θ)はヤコビアンで、拡大(縮小)率を見ています。これは行列式であって、{{x_r,y_r},{x_θ,y_θ}}という行列の行列式のことです。x_rとかはxのrに関する偏微分などです。行列をテキスト表記するのは面倒なので、上の書き方は適当に解釈してください。

ちなみに1次元の場合は絶対値がつかないのに、2次元(以上)で絶対値がつくのは面積を計算する領域の向きの変換を考えないことに依存しています。たとえば1次元の場合は、x:α→βと積分するとき、-x→yと変数変換すればy:-α→-βと積分することになりますが、多変数のときは、これを-β→-αという感じで計算していることになるので、したがって符号を元に戻す必要があって、絶対値がついているというイメージです。詳しいことはもちろん微積のテキストのご参照を。webにもたくさん落ちてることでしょう。