xについての不等式x^2-(a+1)x+a<0,3x^2+2x-1>0を同時に満たす整数xがちょうど3つ存在するように定数aの値を求めよ。こんな問題です。
x^2-(a+1)x+a<0を解いてa<1のときa<x<1
a=1のとき解なし
a>1のとき1<x<a
3x^2+2x-1>0を解いて x<-1,1/3<x
a<1のとき、a>1のときのみ同時に満たす整数xがちょうど3つ存在する。
ここまでは分かりますがここからが分かりません。
a<1 -4,-3,-2 よって-5≦a<-4
a>1 2,3,4 よって4<a≦5
分からないところを明確に言うとなぜ「-4,-3,-2 と2,3,4になるか」と言うことです。aが1以上若しくは1以下なのでべつに「連続している必要はない」と思ってしまいます。
教えてください。よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
説明不足のように思いますので、補足します。
>aを通常のy軸に取ってください。
(この文章の次に) a=k(定数)として、kをx軸に平行に動かしてみてください。。。。。。を、補足します。
>(1)より a>xの時は x>1/3ですから
x+1<0の場合もありますが、題意を満たすxの整数値がちょうど3個となる場合はありえないことは、図から自明。。。。。。を補足します。
No.3
- 回答日時:
>aが1以上若しくは1以下なのでべつに「連続している必要はない」と思ってしまいます。
連続する必要性はないのですが、結果的にそうなるということです。
そのためには、貴方の解法では分かりにくいでしょうから別解を示します。
但し、「領域の図示」を習っている事が前提です。
x^2-(a+1)x+a<0より (x-1)(x-a)<0 ‥‥(1)
3x^2+2x-1>0より (3x-1)(x+1)>0 ‥‥(2)
(1)と(2)をx-a平面上に図示してください。
aを通常のy軸に取ってください。
(1)より a>xの時は x>1/3ですから、整数xがちょうど3つ存在するようには、題意を満たすにはxの整数値が2、3、4ですから、4<a≦5であることは殆ど自明でしょう。
同様な方法で、a<xの場合をやってみてください。
-5≦a<-4になるはずです。
No.2
- 回答日時:
数直線を書いて考えてください。
a<1 のとき
a<x<1 と x<-1 を 同時に満足させる整数xは(aに制限がなければ) -2,-3,-4,-5,-6,-7,・・・・・
これをちょうど3つにするためにはaに制限をつけて-2,-3,-4までにして、-5以下を排除する。
1<a のとき
1<x<a と 1/3<x を 同時に満足させる整数xは(aに制限がなければ) 2,3,4,5,6,7,・・・・・
これをちょうど3つにするためにはaに制限をつけて2,3,4までにして、5以上を排除する。
No.1
- 回答日時:
この問題を読み換えれば、
a<1の時、
a<x<-1 の範囲に整数が3個あるようにaを決めなさいということです。(xの整数解が3個なので)
当然、そのような整数は連続してます。
仮に
-a<x<a ・・・・・・(1)
x<-1 あるいは x>2 ・・・・・・(2)
(1),(2)の共通部分ならx=-3or-2or3となるようにaを決めることはできますが、
この問題の場合は無理です。
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