時定数の求め方について

始めまして、初めて質問します。

「電源、抵抗R、コンデンサCを直列に接続し、さらにコンデンサに並列に抵抗rを接続した場合」の時定数はどうなるのでしょうか？
電源、抵抗R、コンデンサCを直列に接続しただけのRC回路の時定数はRCになる事は導けたのですが、コンデンサに抵抗rを並列接続しただけでどうしたらよいのかわからなくなってしまいました。

どうかよろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： ruto 回答日時： 2006/10/21 16:10

R・i1+r・i3=E・・・・・(1)

q/C＝r・i3・・・・・(2)
i1＝i2＋ｉ3・・・・(3)
(1)(2)(3)の式からi1を解くと、
τ＝C・R・ｒ／（R＋r)に成ります。
参考に
i1＝E／（R+r)・｛1＋ε＾-（R+r)t／（CRｒ）｝

この回答への補足

はじめまして、回答どうもありがとうございます。
確かに計算したら仰っている値になりました。
しかし、時定数が
C*R*r/(R+r)
になると言うことは、「電源、抵抗R、コンデンサC」のみのの直列接続のときの時定数、CRよりも小さくなりますが、それはコンデンサの充電時間が短くなるということですよね？
参考書には「充電時間は長くなる」との記述になっていたのですが、設定がおかしいのでしょうか？
遅ればせながらですが、回路図としてはこんな感じです（見難くてすみません）

――抵抗Ｒ――――――
｜　　　　　　　｜　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜　
｜　　　　　　　コ　　｜
｜　　　　　　　ン　　｜
電　　　　　　　デ　　抵
源　　　　　　　ン　　抗
Ｅ　　　　　　　サ　　ｒ
｜　　　　　　　Ｃ　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜　
｜　　　　　　　｜　　｜　
――――――――――――

「抵抗ｒが無い」場合よりも「抵抗ｒが有る」場合の方が充電には時間がかかると思うのですが、計算するとC*R*r/(C+R)に確かになりますね。

頭がこんがらがってきました（笑
（コピペですみません）

補足日時：2006/10/21 17:02

この回答へのお礼

回答どうもありがとうございます。
確かに、計算するとC*R*r/(C+R)になりました。
しかし、コンデンサに平行な抵抗が入ると時定数が小さくなる（充電時間が短くなる？）と言う疑問がまだ残ったままです。
「この回答への補足」に補足質問をさせていただいたので教えていただけると幸いです。

お礼日時：2006/10/21 17:21

No.4 回答者： foobar 回答日時： 2006/10/21 18:55

電源Eが電圧源として、r,R,Eをひとつの等価回路としてまとめると、

1. E・r/(r+R)の電圧源
2. ｒとRの並列抵抗
が直列になった等価回路になります。
で、2．の等価抵抗とCでできる時定数ができて、これはCRより短くなります。

この回答へのお礼

そうですね。電源の値もr/(R+r)倍されるので、時定数が小さくなっても充電時間は増加しそうです。
ちょっと僕が勘違いしてたみたいです。ありがとうございました。

お礼日時：2006/10/22 02:59

No.2 回答者： foobar 回答日時： 2006/10/21 07:37

いくつか解法はありますが、たとえば下のような解き方もあるかと。

R,C,rの回路で周波数wでのインピーダンスを求めると
Z
=R+(1/(jwC+1/r))
=(r+R+jwCrR)/(1+jwCr)
=(r+R)・(1+jwCrR/(r+R))/(1+jwCr)
=(r+R)・(1+jwτ1)/(1+jwτ2）
という形になり、
回路としては二つの時定数 τ1=CrR/(r+R)、τ2=Cr
を持つことになるかと。

この回答への補足

はじめまして、回答どうもありがとうございます。
確かに計算したら仰っている値になりました。
しかし、時定数が
C*R*r/(R+r)
になると言うことは、「電源、抵抗R、コンデンサC」のみのの直列接続のときの時定数、CRよりも小さくなりますが、それはコンデンサの充電時間が短くなるということですよね？
参考書には「充電時間は長くなる」との記述になっていたのですが、僕の設定がおかしいのでしょうか？
遅ればせながらですが、回路図としてはこんな感じです（見難くてすみません）

――抵抗Ｒ――――――
｜　　　　　　　｜　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜　
｜　　　　　　　コ　　｜
｜　　　　　　　ン　　｜
電　　　　　　　デ　　抵
源　　　　　　　ン　　抗
Ｅ　　　　　　　サ　　ｒ
｜　　　　　　　Ｃ　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜　
｜　　　　　　　｜　　｜　
――――――――――――

「抵抗ｒが無い」場合よりも「抵抗ｒが有る」場合の方が充電には時間がかかると思うのですが、計算するとC*R*r/(C+R)に確かになりますね。

頭がこんがらがってきました（笑
（コピペですみません）

補足日時：2006/10/21 17:00

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
C*R*r/(C+R)には辿り着きました。
僕はまだほぼ素人のようなものなので、わからないことだらけですが、
大変参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2006/10/21 17:13

No.1 回答者： F_P_E 回答日時： 2006/10/21 05:07

はじめまして。

久しぶりに電気回路の問題を解くので自信はありませんが。。。

電源圧をE、コンデンサの電位差をVとするとコンデンサに流れる電流は

C*dV/dt

で、コンデンサと並列な抵抗に流れる電流は

V/r

となりますので

E - R*(C*dV/dt+V/r) -V = 0

という(微分)方程式を得ることができます。これを変形すれば

dV/dt = E - ((1/R+1/r)/C)*V

となりますので、時定数はたぶん

τ = C*R*r/(R+r)

となると思います。

この回答への補足

はじめまして、回答どうもありがとうございます。
確かに計算したら仰っている値になりました。
しかし、時定数が
C*R*r/(R+r)
になると言うことは、「電源、抵抗R、コンデンサC」のみのの直列接続のときの時定数、CRよりも小さくなりますが、それはコンデンサの充電時間が短くなるということですよね？
参考書には「充電時間は長くなる」との記述になっていたのですが、設定がおかしいのでしょうか？
遅ればせながらですが、回路図としてはこんな感じです（見難くてすみません）

――抵抗Ｒ――――――
｜　　　　　　　｜　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜　
｜　　　　　　　コ　　｜
｜　　　　　　　ン　　｜
電　　　　　　　デ　　抵
源　　　　　　　ン　　抗
Ｅ　　　　　　　サ　　ｒ
｜　　　　　　　Ｃ　　｜
｜　　　　　　　｜　　｜　
｜　　　　　　　｜　　｜　
――――――――――――

「抵抗ｒが無い」場合よりも「抵抗ｒが有る」場合の方が充電には時間がかかると思うのですが、計算するとC*R*r/(C+R)に確かになりますね。

頭がこんがらがってきました（笑

補足日時：2006/10/21 16:57

この回答へのお礼

親切な回答どうもありがとうございます。
時定数なんてあまりよくわからないまま調べていたのですが、
微分方程式から出てくるものだったんですね。

お礼日時：2006/10/21 17:09