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「三角形の内角の和が180度」と習いましたが、
その証明は習いませんでした。
どうやって証明するのでしょうか?
三角形の種類は無限大にあります。
証明は難しいそうですが、案外サクッといくものなのでしょうか?

よろしくお願いします。

A 回答 (5件)

(1)錯角は等しい


(2)ある直線と平行で,直線外のある一点を通る直線はただ一つだけある

この二つを仮定します.

三角形に対して,どこか一辺に平行で
その辺にない頂点を通る直線を引きます.
三角形の内角を「錯角が等しい」の性質で
一直線上に並べることができます.
すなわち「和は180度」です.
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すでに適切な説明がなされているので、私の発言は蛇足です。


No.3の(2)は、ユークリッド(エウクレイデス?)の第7公理ですよね。これを前提にしないと、180度だという証明ができません。
現に、私たちの住んでいる宇宙では、180度にならない、ということが80年以上前の観測で確認されました。これを予言したのはアインシュタインの一般相対性理論です。ですから、現実世界から見ると、180度になるというのは「近似的に正しい」か、または「頭の中に描いた数学の世界でのみ正しい」か、どちらかです。
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三角形の辺に沿って車を運転することを想像ください。


1周するためには3つの角で方向ハンドルをきって方向転換しますよね。
外角(方向転換する角度)の和は? どんな3角形でも360度です。
それぞれの角での外角は? 「180度ー内角」 ですよね。

3つの角があるので、それぞれ足すと、
 180度*3 - 内角の和 = 360度
 したがって、内角の和 = 180度

これって、3角形でなくてもどんな多角形でも応用できますよ。
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三角形ABCがあるとして


辺BCに平行で点Aを通る直線を引きます
辺BA,辺CAをAの方向に延長すると
同位角、対頂角が等しいことから証明できます

http://www2.edu.ipa.go.jp/gz/e1math/e1hego/e1heg …
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紙に三角形を描いて切り取ります。


三つの角がばらばらになるように切り分けます。
三つの角を直線にそって並べます。
これで直感的に三角形の三つの角の和が180°であることが分かります。
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