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- 回答日時:
P_jがどのような多項式か分かっていれば自明ですが,その感覚はありますか?
P_j(x)は,あたえられた(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_j,y_j)というj+1個の点をすべてとおるj次以下の多項式で,これは一意に決まります
(n+1個の点をとおるn次以下の多項式はただひとつに決まることに注意してください).
たとえば,k=2のとき,
(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)という異なる3点の座標があたえられて
P_0は,1点(x_0,y_0)を通るたかだか0次の多項式(P_0=y_0),
P_1は,2点(x_0,y_0),(x_1,y_1)を通るたかだか1次の多項式(2点を通る直線),
P_2は,3点(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)を通るたかだか2次の多項式(3点を通る2次以下の関数)
というふうに決まるのですね.
以上のことがわかっていれば示すべき命題は自明で,
P_k(x)=P_{k-1}(x):(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)を通る多項式と(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{k-1},y_{k-1})を通る多項式がひとしいこと
と,
P_{k-1}(x_k)=y_k:(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_{k-1},y_{k-1})を通る多項式上に(x_k,y_k)があること
とは同値ですよね.
証明は必要性と十分性をべつべつに書けばよいでしょう.
「P_k(x)=P_{k-1}(x)ならばP_{k-1}(x_k)=y_k」は定義からあきらかだし,
「P_{k-1}(x_k)=y_kならばP_k(x)=P_{k-1}(x)」は,
P_{k-1}(x_k)=y_kより,P_{k-1}とP_kはともにk+1個の点
(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)をとおる.このようなk次以下の多項式はただひとつに決まるから,P_{k-1}とP_kはひとしい.
とでもしましょうか.
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