フェルマー？の証明

Ｘ，Ｙ，Ｚを０でない整数として、もしもＸ3乗＋Ｙ3乗＝Ｚ3乗が成立しているならば、Ｘ，Ｙ，Ｚのうち少なくとも一つは３の倍数であることを証明せよ。（フェルマーの定理を知らないものとする。）
と言う問題で、どのような順序をもって証明するべきなのかがわかりません。
また、実際にＸ、Ｚに３や６等の数字を代入したのですが答えが出ませんでした。
このような、質問は初めてなのでこのようなカンジで良いのかわかりませんが、よろしくお願いします。

No.12 回答者： fool_ish 回答日時： 2007/03/17 05:25

P が偽ならば，P => Q は真．意味はなすし，偽でもない．したがって命題

「非零の整数 x, y, z が x^3+y^3=z^3 を満たす => x, y, z の少なくとも1つは3の倍数」
は，フェルマー=ワイルズの定理を既知とすれば，即座に真．
いっぽうこの問題では，同定理を既知としない証明が求められている，というだけの話でしょ．

No.11 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/03/16 17:40

「今回のようなx,y,zが０でない整数と限定した場合は、この命題自体は偽となります。

」における「この命題」とは, どれを指すのでしょうか? 証明系が健全である限り, 証明された以上真の命題ですよね?
「フェルマーの定理を知らないものとする」というただしがきは
「フェルマーの定理より xyz≠0 である整数に対して x^3 + y^3 = z^3 となることはない, 従ってこの命題は証明された」
という記述を排除するためのものでしょう. もっとも, この問題についていえば「フェルマー」が適切なのかという点はつらいと思います... えっと, 「いずれも 0 でない整数 x, y, z に対して x^3 + y^3 = z^3 となることはない」という命題を証明したのは誰でしたっけ?
ちなみに #7 の「『偽』であることが知られている命題を前提とした命題は『意味をなさない』とすべきでしょう。」というのは意味不明です.
命題p が偽のときに 命題「p→q」が意味をなさないとすると, この対偶である「￢q→￢p」も意味をなさないとするしかないんですが, 後者の命題は (#7 の見解をもってしても) 意味をなすことがあります.

No.10 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2007/03/16 17:35

＃４です。

議論が思わぬ方向へと行きましたね・・・これは問題をどう見るかだと思います。すなわち背理法の一部（n=3のときのフェルマーの定理の証明）として捉えるか質問にある命題そのものを考えているのか。前者の場合（ＸかＹが３の倍数であることから矛盾を導き出すことができるかどうか分かりませんが）はまさに＃９さんの仰るところで議論がナンセンスであるどころか立派な定理の証明です。ただ後者の場合（結局そこから矛盾を見出せないとき）は＃７さんの仰ることに通じるような感じですね。そこから何か有意義なことが出てこない場合確かに全体としての議論はナンセンスになることもありえます。しかし基本的にはこのように矛盾を探しながらさ迷う態度は数学で必須のものであるのは確かです。

No.9 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/16 14:38

＃７様

　前提は真と仮定しています。
大定理が証明される以前なら
この投稿はなかったでしょう。

　また、大定理が証明されていても
前提は真と仮定する事は可能です。

　当方もしばしば、誤答を投稿して
お詫びの方が多くなりつつ・・・

　さて、貴殿の見解は間違いです。貴殿の議論は、
＜x^3 + y^3=z^3不成立＞を前提としていますが、

　いまは　＜x^3 + y^3=z^3成立＞を前提とした議論です。
そして、背理法で＜x^3 + y^3=z^3成立＞を否定するための
さらに以前の問題です。

　この論法は良く使われ論法で、貴殿の説を敷衍すると、
＜ｘ＝√２の時　ｘ＝ｎ/mと表せると仮定する・・・　＞において
＜ｘは有理数ではないから、ナンセンス　＞となります。

誤答や錯誤や誤植は見過ごせますが、
根本的な誤謬は、投稿者の見識を疑わせます。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ＰＳ　これ以上の議論をするつもりは、ありません。

No.8 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/16 14:35

#6です。

回答とは全く関係のない話で恐縮ですが、ふと疑問に感じた事がありますので、書き込みさせていただきます。
今回のようなx,y,zが０でない整数と限定した場合は、この命題自体は偽となります。つまり、フェルマーの定理では、x,y,zが０でないという制約があるため、その場合は解を持ちません。しかし、このような制約がなければ、(x,y,z)=(1,0,1)や、(x,y,z)=(3,0,3)、(x,y,z)=(-2,2,0)のなどの解を持ちますし、x,y,zのうちいずれか一つは０を持つ事は確実に言えますので、この場合は命題は真になります。
よって、最初からx,y,zが０の場合も含めて考えるならば、フェルマーの定理を知らないという前提である必要はなく、そのような断り文句自体は不要だと思われます。

No.7 回答者： Ishiwara 回答日時： 2007/03/16 12:09

「偽」であることが知られている命題を前提とした命題は「意味をなさない」とすべきでしょう。

「太陽が西から出れば、私は都知事選に立候補する」と言われても、この人が、ウソつきかどうか論じることはナンセンスです。

No.6 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/03/15 21:58

x,y,zはそれぞれ３の倍数でないと仮定します。

x=3k+s y=3l+t(s,tはそれぞれx,yを3で割った余り)おき、

x,yが３の倍数でないのは、
(1)s = 1 t = 1
(2)s = 2 t = 2
(3)s = 1 t = 2
(4)s = 2 t = 1
の４通りになります。

ここで、(x+y)(x^2+y^2-xy)=z^3であり、(x+y)が３の倍数になれば、zも３の倍数となるので、(3)(4)のケースでは、x+y=3(k+l)+3となるので、除外されます。
次に、(1)(2)のケースではs=tを満たすので、x=3k+s,y=3l+sと置き換えて、
これらを与式の左辺に代入して計算すると、
x^3 + y^3 = (3k+s)^3 + (3l+s)^3
27k^3 + 27k^2s+9ks^2+s^3 + 27l^3+27l^2s+9ls^2+s^3
9(3k^3+3l^3+3k^2s+3ls^2+ks^2+ls^2)+(s^3+t^3)
になります。

したがって、
9(3k^3+3l^3+3k^2s+3ls^2+ks^2+ls^2)+(2s^3) = z^3になります。
ここで、左辺を９で割った余りはs=t=1のときは２であり、
s=t=2のときは７になります。このことから、z^3は９で割ると２または７余る数字でなければならない事になります。
しかし、z=3m+rとおくと、z^3 = 27m^2+27m^2r+9m^2r+r^3を９で割った余りは、r=1のとき1であり、r=2のとき８である事が分かり、両辺とも９で割った余りが一致しないので、(1)(2)のケースも否定されました。
よって、(1)～(4)のケースを否定されたので、x,y,zが全て３の倍数でないようなx,y,zの組は存在しない事が言え、すなわち、x,y,zのうち少なくともいずれか１つは３の倍数でなければならない事が示されました。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/03/15 19:40

アドバイスとしてはそれで十分だと思います＞#3.

というか, 方針はそのままだし.
「3で割った余り」を使うだけじゃダメってのは, 多分きちんと計算すればわかるはずです.
そういう観点では私のアドバイスも間違っていて,
「x^2 + y^2 = z^2 なら x と y の少なくとも一方は 2の倍数」
の証明を参考にすべきだったかもしれません. これも「2で割った余り」だけでは証明しにくいはずです.

No.4 回答者： ringohatimitu 回答日時： 2007/03/15 07:13

とりあえず＃１さんの方針でも以下のように証明できるかと思います。

X,Y,Zを3の倍数でない整数と仮定します。このときその余りは問題の式から各々1,1,2でなければなりません。
X^3=(Z-Y)(Z^2+ZY+Y^2)=(3k+1)(3j+1)とおきます。右辺展開して適当に移項し再度因数分解すれば3(3kj+k+j)=(X-1)(X^2+X+1)となり、この右辺は仮定(Xを3で割った余りが1)から9の倍数、よって左辺のk+jが更に3で割り切れなければなりません。k,jの定義にもどって結局
9|(Z^2+ZY+Y^2+Z-Y-2)----(★)です。Y,Zの仮定から各々9で割ったときの余りの可能性はYが1,4,-2、Zが2,5,-1です。ところがこれら９通りの中で(★)を満たすものは存在しません（チェックしてみてください、もしかしたら計算間違ってるかもしれないので）。これでX,Y,Zのどれかが3の倍数でなければならないことが示されました。

No.3 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/03/15 05:04

　　＃１です

＃２様のご指摘通り
＃１は完璧に誤答です
お詫びします