(sinX)^n の積分

(sinX)^n の積分はどうしたらいいのですか？
教えてください．

No.3 回答者： sumou111 回答日時： 2001/04/07 20:40

∫sin^n X dX

=∫[sinX・sin^(n-1)X ] dX

=∫[(-cosX)'・(sinX)^(n-1) ] dx

=-cosX・sin^(n-1)X-∫(-cosX)・(n-1)・sin^(n-2)X・cosX dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・cos^2 X dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X・(1-sin^2 X) dX

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^(n-2)X・sin^2 X dX]

=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・[∫sin^(n-2)X dX-∫sin^n X dX]

よって n∫sin^n X dX=-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX　より　∫sin^n X dX=1/n・[-cosX・sin^(n-1)X+(n-1)・∫sin^(n-2)X dX　]　となります。

部分積分を使い漸化式の形にします。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/20 01:27

......。

J[0]=integral dx = x
J[1]=integral sin x dx = -cos x
です。
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2]
をxで微分してみれば、(sin x)^n になるのが確かめられます。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2001/01/18 10:27

J[n] = integral (sin x)^n dx

とおくと、
J[n] = -(1/n)((sin x)^(n-1))(cos x) + ((n-1)/n)J[n-2] (n≠0)
です。
n<0の場合はこの漸化式を逆向けに使います。
J[0],J[1]はわかりますよね。