波動方程式の規格化

次の問題が解けません。

水素の２ｐｙ原子オービタルはψ2py={1/(4√2π)}r{(1/a)^3/2}(r/a)exp(-r/2a)sinθsinφである。ψ2pyが規格化されていることを示せ。（aはボーア半径）

教科書等を参考にしながら見よう見まねで次のように解いてみました。

∫[ボーア半径を半径とする球体](ψ2py)^2dv
=∫[0⇒a]∫[0⇒π]∫[0⇒2π]{(ψ2py)^2}r^2sinθdrdθdφ

これを計算してみたのですが、この計算結果がどうしても１になりません。
まだ波動方程式に関する知識があまりなく、規格化自体もあやふやな理解しかないという状況です。
疑問点としては、2py軌道は球形ではないのに、積分区間が球体、しかもボーア半径を半径にもつ球体でいいのかというのがあります。
どこが間違っているのか、アドバイスよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/06/20 06:12

＞水素の２ｐｙ原子オービタルはψ2py={1/(4√2π)}r{(1/a)^3/2}(r/a)exp(-r/2a)sinθsinφである

　この式、一部、間違っていませんか？
　ｒが１つ少なく、πに√が掛かっているように思います。
　正しくは、
　　ψ2py=[1/{4√(2π)}] {(1/a)^3/2}(r/a)exp(-r/2a)sinθsinφ
だと思います。

http://mizokawa.k.u-tokyo.ac.jp/lecture/bms.pdf　の15ページ　下から3行目を見てください。

　ちなみに、この式で計算すると（ｒの積分範囲は０→∞です）、1になりましたよ。
　　1/(32πa^5) × 4!a^5 × 4/3 × π　＝１

この回答へのお礼

やっぱり間違っていたのですか。
同じグループの人もそう言っていたので、これで確信が持てました。
積分区間が０→∞だったとは、お恥ずかしい、、
ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/20 08:13

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2007/06/19 23:06

>∫[ボーア半径を半径とする球体](ψ2py)^2dv

積分範囲はボーア半径を半径とする球体ではなく、全空間です。つまり、rに関する積分は、0から∞までです。

この回答へのお礼

やっぱり違ってたのですね。お恥ずかしい、、
ありがとうございました。

お礼日時：2007/06/20 08:13