余弦定理を用いた問題

こんばんは。いつもお世話になっております。
問題集を解いていてどうしてもわからない問題があるので、解き方・考え方を教えてください。

問題1)　四角形ABCDが、半径64/8の円に内接している。この四角形の周の長さが44で、辺BC=辺CD=13であるとき、残りの２辺ABとDAの長さを求めよ。
自分なりに考えてみたのですが、ABとDAに関する方程式を２つ立てて連立させるのかと思ったのですが、AB+DA=18しか思いつきません。半径64/8の円に内接していることから、正弦定理を使おうと思っても角の大きさが一つも分かっていないため使うことができません。。

問題２)四角形ABCD(問題１とは別)において、BC=2,CD=3,∠DAB=60度(π/3),∠ABC=∠CDA=90度(π/2)とする。このとき、辺AB,辺DAの長さを求めよ。
この問題は、対角線ACを引き、２つできる直角三角形について三平方の定理でAC^2=の形にして、２つを連立させて整理すると、AD^2=AB^2+1という式が出てくるのですが、この式を解くにはもうひとつ式が必要です。どうやって出せばいいのでしょうか?

両方ともおそらく余弦定理や正弦定理を使うのかと思うのですが、どちらも適用できません。。もう２時間近く粘っていますがいっこうに解けません。どうかお力をお貸しください。よろしくお願いいたします。

No.5 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2007/07/28 19:28

再び。

AD^2=AB^2+1を確認せずにいましたが、AB^2+2^2=AD^2+3^2
なので、AD^2=AB^2-5ですね。
すると、余弦定理で、
19=AB^2+{√(AB^2-5)}^2-AB*√(AB^2-5)
整理すれば、
2AB^2-AB*√(AB^2-5)-24=0となります。
この方程式は
AB*√(AB^2-5)を移項して両辺を２乗して４次方程式にして
解きます。
2AB^2-24=AB*√(AB^2-5)・・・☆
両辺を２乗して、
4AB^4-96AB^2+576=AB^2(AB^2-5)
AB^2をＸとでもおけば２次方程式になります。
たすきがけの因数分解になります。
ただし、☆の式で右辺は正ですから、2AB^2-24＞０
つまり、AB^2＞12となることに注意してください。

この回答への補足

お礼の補足です。
先ほど三角形ABDに余弦定理を適用してみれば検算できることに気がつき、やってみたところ、見事BD^2=19となり成り立ちました。
このたびは何度も私の質問にお答えくださり、本当にありがとうございました。今回の質問で、余弦定理の使い方がより身についた気がします。
このたびは本当にありがとうございました！！

補足日時：2007/07/28 23:51

この回答へのお礼

何度も何度もご回答くださり、本当にありがとうございます！
何とか解けました。最後に、答えを確認していただけないでしょうか？答えがないもので計算間違いが心配です。。
4AB^4-96AB^2+576=AB^2(AB^2-5)　から記述します。
AB^2=Xとおく。
4X^2-96X+576=X^2-5X
3X^2-91X+576=0　解の公式より、(←たすきがけの組み合わせが見つかりませんでした。)
X={91±√(91^2-4*3*576)}/6
X=64/3, 9
AB^2>12より、X>12である。よって、X=9は不適である。
X=64/3
AB^2=64/3
AB>0なので、
AB=8√(3)/3
AD^2=AB^2-5より、
AD^2=64/3-5
AD^2=49/3
AD>0なので、
AD=7√(3)/3
これであっておりますでしょうか？

お礼日時：2007/07/28 21:42

No.4 回答者： debut 回答日時： 2007/07/28 10:12

Ｎｏ２です。

半径が65/8ならば、No2で説明したcos(∠ＯＣ Ｂ)は４/５と
なります。
このcosの値は、直角三角形ＯＣ Ｈを考えたとき、ＯＣ ＝65/8
Ｃ Ｈ＝13/2なので、cosの基本的な見方(底辺/斜辺)から
cos(∠ＯＣ Ｈ)＝Ｃ Ｈ/ＯＣ ＝(13/2)/(65/8)＝４/５
∠ＯＣ Ｈと∠ＯＣ Ｂは同じ部分ですから、cos(∠ＯＣ Ｂ)
＝４/５となります。
すると、倍角の公式から、cos(∠ＢＣ Ｄ)＝２×(４/５)^2－１
＝７/２５。
△ＢＣ Ｄで余弦定理を適用して、ＢＤ^2＝・・・＝(78/5)^2。
cos(∠ＢＡＤ)＝－cos(∠ＢＣ Ｄ)なので、△ＡＢＤに余弦定理
を適用して(ＡＢ＝ｘ、ＡＤ＝18－ｘとして）最終的には
ｘ^2－18ｘ＋56＝０になりました。

問題２の方は、∠Ｃ＝120°なので、△ＢＣＤに余弦定理を
適用すれば、ＢＤ^2＝19です。
あとは、あなたが導いたAD^2=AB^2+1から、AB=xとすれば、
AD=√(x^2+1)で、△ＡＢＤで余弦定理を適用して求められる
と思います。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
問題１のほうは、教えていただいた通りにやったら見事に解くことができました！本当にありがとうございます。
問題２なのですが、三角形ABDにおける余弦定理にAD=√(AB^2+1)を代入すると、
19=AB^2+{√(AB^2+1)}^2-AB*√(AB^2+1)となり、整理すると、
2AB^2-AB√(AB^2+1)-18=0
となってしまい、これ以上解くことができなくなってしまいました。。
この２次方程式を解くにはどうすればいいのでしょうか？
何度も質問してしまって申し訳ありません。よろしくお願いします。

補足日時：2007/07/28 11:43

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/07/27 23:45

問題2 については #1 の通りでいけると思うんですが, 問題1 はうまくないですね. 四角形が円に内接することから対角の和がπに

で, 正弦定理や余弦定理を駆使すれば式は立ちます. 解きたいとは思いませんが....

No.2 回答者： debut 回答日時： 2007/07/27 23:00

問題１

　円の中心をＯとすると、△Ｏ ＢＣと△Ｏ ＤＣは合同な
　二等辺三角形です。
　ＯからＢＣ に垂線ＯＨを引いて直角三角形Ｏ ＨＣを
　みれば、ＯＣ ＝64/8(ところで、なぜ８としないのですか？）
　Ｃ Ｈ＝13/2なので、cos(∠Ｏ Ｃ Ｂ)＝13/16
　∠Ｏ Ｃ Ｂ＝∠Ｏ Ｃ Ｄなので、cos(∠Ｂ Ｃ Ｄ)＝cos2*(∠Ｏ Ｃ Ｂ)
　で、倍角の公式cos2θ=2cos^2θ－１から
　cos(∠ＢＣ Ｄ)＝41/128
　よって、△ＢＣ Ｄで余弦定理からＢＤ^2＝338-338*(41/128)
　一方、cos(∠ＢＡＤ)=cos(180°-∠ＢＣ Ｄ)=-cos(∠ＢＣ Ｄ)
　なので、△ＡＢＤで余弦定理から・・・
　とやってみたら、29x^2-522x+2011=0などというとんでもない
　２次方程式になってしまいました。解いてみると大雑把に
　ｘ(ＡＢかＡＤ)は12.4と5.6と出ましたが・・
　どうなんでしょ？電卓なしではできません。あるいは計算違い
　かもしれませんが・・

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
申し訳ありません。問題文に間違いがありました。
円の半径、正しくは65/8です。
また、問題２の四角形ABCDは円に内接しておりません。まったく別の問題です。説明不足で申し訳ありません。
ご回答についてですが、５行目のcos(OCB)＝13/16となるところが分かりません。OCとCHがわかっているで三平方の定理より、
OH^2+CH^2=OC^2となり、計算したところOF={√(87)}/2　と出てきました。
この状態で三角形OHCに余弦定理を適用しても13/16という値は出てきませんでした。また、問題文に出てきている「周の長さが44」という情報もきっと使わなければならないと思います。申し訳ありませんが、ほかの方法はないでしょうか？

補足日時：2007/07/28 08:21

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/07/27 21:52

どちらも同じですが, 辺BD を考えてみてください.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
BDですか..　もう少し考えてみます。

お礼日時：2007/07/28 08:04