虚数iのi乗・・・？

タイトルどおり虚数iのi乗を求めなさいという問題が
テストで出題されました。が、どのようにアプローチ
すればよいのか見当がつきません。ちなみに、テスト
の分野は、複素関数です。お願いします。

No.3 回答者： aster 回答日時： 2002/07/24 06:31

　

ｉ＝ｅ^(z) として、ｚ＝x*ｉ　によって、ｉを、ｅの階乗の形に表現します。これは、無論、オイラーの公式を使うためです。

ｉ＝ｅ^(xi)＝cos(x)＋i*sin(x)

このような等式が成り立つには、

cos(x)＝0　　かつ　　sin(x)＝1
→　x＝(π/2)＋n*π　　ｎは整数

ｉ^i＝ｅ^(xi*i)＝ｅ^(-x)　　よって

ｉ^i＝ｅ^[-(π/2＋n*π)]
　

No.2 回答者： motosuna 回答日時： 2002/07/23 17:44

まず、複素平面上で考えます．

複素平面で半径：ｒ、角度：θの点について考えると、
その点へのベクトルはｒ＊ｃｏｓθ＋ｉｒ＊ｓｉｎθなので
＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）＝ｒｅ＾ｉθ←オイラーの公式ですね．

次にｉっていうのは複素平面上では実数軸が０、虚数軸が１の点ですので
上の式で表すとｒ＝１、θ＝π/２＋２ｎπです．（ｎ＝１，２，３，・・・）
これを先ほどの式に代入すると
ｉ＝ｅ＾ｉ（π/２＋２ｎπ）になります．
このｉを求めたいｉ＾ｉの階乗じゃない方に代入すれば答えがでます．

ちなみにｎ＝０とすれば答えは簡単でｉ＾ｉ＝ｅ＾（-π/２）になります．
ｎが０じゃない場合はｉ＾ｉ＝ｅ＾-（π/２＋２ｎπ）

以上です．たぶんあってると思いますが、自分で確認してみてください．

No.1 回答者： secret-goo 回答日時： 2002/07/23 17:31

参考URLを見ていただければ分かると思います。

参考URL：http://homepage1.nifty.com/s_miyake/hp/ipower.htm