線積分の問題

線積分の問題がどうしても解けません。詳しい方いらっしゃいましたら、ご助言宜しくお願いします。

(1)∫c y^2 dx + x^2 dy C: x=cost y=sint (t: 0→π)

そのまま代入して計算し、∫0→π -sint^3 + cost^3 dt という部分まで辿り着いたのですが、この先が計算できません。
やり方が違うのでしょうか。

(2)∫c (e^x + y)dx + (y^4 + x^3)dy (Cは単位円の周を時計の逆回りに１周したもの）

グリーンの定理で重積分に帰着し、∬D 3x - 1 dxdy とまで来たのですが、cos sinを使って範囲設定するとよく分からなくなってしまいました。

No.5 ベストアンサー 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/27 16:07

∬D 3x^2- 1 dxdy

x=rcosθ
y=rsinθ
=∬D {3(rcosθ)^2-1}rdrdθ
=∬D {3/2r^2(1+cos2θ)-r}drdθ
=∬D {3/2r^3+3/2r^3cos2θ-r}drdθ
=∬D {3/2r^3-r}dr
=3πr^4/4-2πr^2/2
=3π/4-π=-π/4

この回答へのお礼

お礼が遅れ申し訳ありません。
ありがとうございます。お陰で理解することが出来ました。

お礼日時：2007/11/30 05:50

No.4 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/27 10:44

∫c (e^x + y)dx + (y^4 + x^3)dy

dx=-sintdt
dy=costdt
=∫c (e^cost+sint)(-sintdt) + (sint ^4+ cost^3)(cost)
=∫c (-sint e^cost-(sint)^2)dt+{(sint)^4cost+ cost^4}dt
∫-sint e^costdt=e^cost　→0
∫((sint)^2dt=∫(1-cos2t)/2dt=t/2-sin2t/4→π
∫sint^4costdt=(sint)^5/5 →0
∫cost^4dt=sin4t/32+sin2t/4+3t/8→3π/4
=-π+3π/4=-π/4

No.3 回答者： Meowth 回答日時： 2007/11/27 09:35

∫c y^2 dx + x^2 dy C: x=cost y=sint (t: 0→π)

dx=-sintdt
dy=costdt
∫c y^2 dx+ x^2 dy=-∫c (sint)^2 sintdt+ (cost)^2 costdt
=∫c (1-(cost)^2)(-sint)dt+ ((1-(sint)^2)costdt
=[cost-1/3(cost)^3+sint-1/3(sint)^3] 0→π
={[-1-(-1)^3/3+0-(0)^3] -[1-(1)^3/3+0-(0)^3/3] }
=-2/3 -2/3
=-4/3

ちなみに、対称性からx^2 dyは明らかに０
∫c y^2 dx
は
2∫c y^2 dx(t: 0→π/2）
=2[cost-1/3(cost)^3] 0→π/2

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2007/11/27 06:20

定義をよ見るとよいです。

(1)はじめの項はxが変化するとyは√(1-x^2)と変化しますから
∫[-1,1](1-x^2) dxですね。もちろんあなたの式もx=costの変数変換すれば解けます。
(2)時間がないので 、∬D (3x^2 - 1) dxdyのミスを指摘するだけに。どの解法がよいか未検討ですが、この解法も２重積分をみれば簡単かと。

この回答へのお礼

お礼が遅れて申し訳ありません。そしてお忙しい中回答ありがとうございました。とても参考になりました。

お礼日時：2007/11/30 05:51

No.1 回答者： A-Tanaka 回答日時： 2007/11/27 05:22

(1)∫c cos^2(t)+sin^2(t) dt = ∫dt = π

なぜならば、cos^2(t)+sin^2(t) = 1

(2)は、原始関数を求めてしまっているようです。そのまま、通常の積分をして、そのまま区間代入すればよいです。

参考文献：高木貞二(著), 解析概論, pp.380-385, 岩波書店, 1983

参考URL：http://phaos.hp.infoseek.co.jp

この回答へのお礼

ありがとうございます。参考にさせていただきました。

お礼日時：2007/11/30 05:02