遠心力と引力がつりあったら・・・

最近、夏バテで重力さえもきつく感じるので(笑)こんな空想を考えてみました。
以下、赤道上の話とします。また他の星の引力は無視してください。
現在の地球の自転速度では、地球の自転による遠心力は地球の引力に比べておよそ３００分の１と普通無視できるレベルですが、自転の角速度が今の約１７倍（１時間ちょっとで日が沈んだり上ったり…）になると遠心力が引力につりあいます。
ここで質問ですが、このつりあいの状態の赤道上ではいわゆる無重力が体感できるのでしょうか。また、仮にそれが無重力状態だとすると地面をけってジャンプしたらその人はその後どうなるのでしょうか。再び引力が効力を出して地面に落ちるのか、あるいははるかかなたへとんでいってしまうのか。どうも独力ではジャンプした後の力の働き方とかがよくわからないのでご回答よろしくお願いします。

No.1 回答者： Singollo 回答日時： 2002/09/12 21:54

ジャンプすると、体の重心の位置が高くなり、地球との間の重力が小さくなりますから、釣り合いが崩れて飛んで行ってしまうことになると思い

ます

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
僕も最初そう思ったんですが、地面から離れたあと、遠心力が消えてしまい引力に再び引っ張られるような気がしますが・・・どうなのでしょうか。

お礼日時：2002/09/13 18:50

No.2 回答者： mokonoko 回答日時： 2002/09/12 22:02

> このつりあいの状態の赤道上ではいわゆる無重力が体感できるのでしょうか。

そうなるはずです。
赤道上・・・と仮定していますが、遠心力と引力がつりあっている状態は
静止衛星の軌道上で実現されています。

また、引力は中心からの距離の２乗に反比例するので、
ジャンプして地球中心から遠くなった時点で引力の影響はほぼ無くなります。
つまり無重力状態が続き、ジャンプした時の初速を維持したまま延々と地球から
離れていくと思います。(地球の公転は取りあえず無視してますが)

この回答へのお礼

僕も学校にいっていろいろ考えていたらスペースシャトルを思い浮かべました。
つい遠心力と引力がつりあうのがとても特殊なように感じてました。
想像しやすくなりそうです。

しかし、ジャンプしたあとについてはもう少し考えさせてください。地球上の第二宇宙速度に相当するものがあるのかないのかまだ見当がつきません。

お礼日時：2002/09/13 19:01

No.3 回答者： saigoudon 回答日時： 2002/09/12 23:00

自信が無いのですが、

ジャンプした瞬間に地面から足が離れるから
遠心力は働かなくなって
その時の地球の自転方向に等しい方向に
速度v=sqrt(GM/r)
G:重力定数(っていうんでしたっけ?)
M:地球の質量
r:地球の中心から地球表面までの距離
で飛び出した人間が地球の引力によって再び
地面に落ちて来るのか、それともどこかに飛んでいってしまうのか?
という問題になるのではないかと思ったのですが、
どうでしょうか?
なにぶん自信が無いので間違ってたらすいません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
「糸につながれた球がぐるぐる回っているときに糸を切ったら球はその瞬間の運動方向に飛んでいってしまう」というのに似ていますね。でも違うのは切ったあとに引力が働くということですね。
しかし、そもそも遠心力という見かけの力を使っているために僕の頭がごちゃごちゃしているような気がします。すみません、もう少し考えさせてください。

お礼日時：2002/09/13 19:26

No.4 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 00:11

人が上に飛んだ速さ：ｖｈ

地球の自転周波数：ｆ
地球の半径：Ｒ
人の質量：ｍ
地球の質量：Ｍ
ｍ≪Ｍ
万有引力係数：Ｇ
時間変数：ｔ
人の地球の重心からの位置ベクトル：ｒ（ｔ）
ｒ（０）＝ｒ０
ｄｒ（ｔ）／ｄｔ＝ｖ（ｔ）
ｖ（０）＝ｖ０
とすると
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
人の運動は次の方程式に従う
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・ｒ／ｒ＾３
両辺にｄｒ／ｄｔを内積して積分すると
｜ｖ（ｔ）｜＾２－｜ｖ０｜＾２＝２・Ｇ・Ｍ・（１／｜ｒ｜－１／｜ｒ０｜）
ｒ＝∞でｖ（ｔ）が存在
すなわち√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）＜｜ｖ０｜ならば
双曲線を描いて飛んでいく
｜ｖ０｜＜√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
楕円を描いて地球の衛星になる

No.5 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 01:46

人が上に飛んだ速さ：ｖｈ

地球の自転周波数：ｆ
地球の半径：Ｒ
人の質量：ｍ
地球の質量：Ｍ
ｍ≪Ｍ
万有引力係数：Ｇ
時間変数：ｔ
人の地球の重心からの位置ベクトル：ｒ（ｔ）
ｒ（０）＝ｒ０
ｄｒ（ｔ）／ｄｔ＝ｖ（ｔ）
ｖ（０）＝ｖ０
とすると
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
人の運動は次の方程式に従う
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・ｒ／｜ｒ｜＾３
両辺にｄｒ／ｄｔを内積して積分すると
｜ｖ（ｔ）｜＾２－｜ｖ０｜＾２＝２・Ｇ・Ｍ・（１／｜ｒ｜－１／｜ｒ０｜）
ｒ＝∞でｖ（ｔ）が存在 すなわち
√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）＜｜ｖ０｜ならば
双曲線を描いて飛んでいく
｜ｖ０｜＝√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
放物線を描いて飛んでいく
｜ｖ０｜＜√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
楕円を描いて地球の衛星になる

No.6 ベストアンサー 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 11:14

楕円軌道を描くときには元に位置に戻ってきて

そのとき人は地表面とｔａｎ＾（－１）（ｖｈ／（２・π・ｆ・Ｒ））の角度になっています
ということは人が楕円軌道をとるときには人の楕円軌道は地球内部をとおるすなわち地球とぶつかる軌道をとおるすなわち地球とぶつかる

少し煩雑になるので省きましたが軌道を出すには
（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝－Ｇ・Ｍ・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾３
の両辺に右から（ｒ（ｔ）×ｄｒ（ｔ）／ｄｔ）を外積して積分すればいいのです

人が上に飛んだ速さ：ｖｈ
地球の自転周波数：ｆ
地球の半径：Ｒ
人の質量：ｍ
地球の質量：Ｍ
ｍ≪Ｍ
万有引力係数：Ｇ
時間変数：ｔ
人の地球の重心からの位置ベクトル：ｒ（ｔ）
ｒ（０）＝ｒ０
ｄｒ（ｔ）／ｄｔ＝ｖ（ｔ）
ｖ（０）＝ｖ０
とすると
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
人の運動は次の方程式に従う
ｍ・（ｄ／ｄｔ）＾２・ｒ（ｔ）＝－Ｇ・ｍ・Ｍ・ｒ（ｔ）／｜ｒ（ｔ）｜＾３
両辺にｄｒ／ｄｔを内積して積分すると
｜ｖ（ｔ）｜＾２－｜ｖ０｜＾２＝２・Ｇ・Ｍ・（１／｜ｒ（ｔ）｜－１／｜ｒ０｜）
｜ｒ（ｔ）｜＝∞を満たすｖ（ｔ）が存在する場合に人は帰ってこない
√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）＜｜ｖ０｜ならば
双曲線を描いて飛んでいき帰ってこない
｜ｖ０｜＝√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
放物線を描いて飛んでいき帰ってこない
｜ｖ０｜＜√（２・Ｇ・Ｍ／｜ｒ０｜）ならば
楕円を描いて飛んでいき楕円を描いて帰ってきたとき地表面にぶつかる

この回答へのお礼

nubouさん、丁寧な回答ありがとうございます。

最初の回答の楕円軌道のときは衛星になるというのが、とてももっともらしく思えましたが、よく考えれば（現在の地球において）地表面に垂直に発射したロケットは発射後に発射エンジン以外にエンジンを使わなければ地球にまた落ちるか無限遠に飛んでいくかのどっちかですね。

ところで、式を見ていきますと、地球の自転周波数は人の運動の軌道に影響がないようですが、にもかかわらず、地表面に戻ってくるときの角度が自転周波数に影響されるのはなぜでしょうか。それと、現在の地球だって自転周波数は０ではないですので、実は厳密には我々はジャンプして再び地上に戻ってくるとき、多少（それはそれは微々たるものですが）地表面に対して傾いて降りているのでしょうか。
あ、もしかして、これがコリオリの力なのですか。
まだ、コリオリの力は、本で読んで、中心力に関する運動方程式をたてて「この第２項がコリオリの力を表す」程度のことしか知りません。

あと、nubouさんの話からするとジャンプしている人は体の傾きを除いては（傾きも微々たるものですのでここでは無視しましょう）ただ、地面に垂直にジャンプしているだけにしか感じないということになるんですね。つまり、地面にいるときは無重力でありながら、ジャンプすると今の地球上でジャンプしたのと同じになるわけですね。う～ん、考えれば考えるほど不思議な世界ですね。体験したいけど…無理ですねぇ。

お礼日時：2002/09/13 22:16

No.7 回答者： tocoche 回答日時： 2002/09/13 19:07

地球の衛星となる速度（第一宇宙速度）が約８ｋｍ／ｓ、地球の引力を振る切る速度（第二宇宙速度）が約１１ｋｍ／ｓなので、その差は約３ｋｍ／ｓ。

　地面を蹴っただけでは、そんなに加速しないので少し高い軌道に移ります。　しかしその軌道も、地球の中心を一方の焦点とし地表を蹴った点を通る楕円となるので、ほっておけば着地します。　遠心力と引力がつりあっているといっても、実際は地球の表面に沿って落下し続けているだけなので、垂直方向に跳び上がった場合は引力は同じように効いているので、すぐに着地すると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
とてもわかりやすいです。ところで、第一宇宙速度と第二宇宙速度の差って何を表しているんですか。

お礼日時：2002/09/13 22:21

No.8 回答者： Singollo 回答日時： 2002/09/13 19:28

> 地面から離れたあと、遠心力が消えて

> しまい引力に再び引っ張られるような
> 気がしますが

ああ、そーか
重力と遠心力が吊り合っていれば、地面に付いた足に地面からの抗力も無く、要するに地上0mで静止衛星軌道に乗ったようなものだから、静止衛星のアポジモータを地表方向に吹かしたらどうなるかと考えればよかったんですね

この回答へのお礼

アポジモーターというのがわからなかったので調べました。
http://host1.sde.co.jp/hyper-dictionary/50-aa/aa …
人工衛星って一気に静止軌道に乗れないんですね（あたりまえだろうけど、だいぶカン違いしてました）。調べる過程でいろいろ勉強になりました。
「静止衛星のアポジモータを地表方向に吹かしたらどうなるかと考えればよかったんですね」っていうのはつまり、地表方向に吹かしたら、静止軌道に載せるときとは逆に、円軌道（ほぼ円軌道といったほうがいいでしょうか）から楕円軌道に戻ってしまうということですね。
やっぱり人工衛星で考えるのは正解だったようですね。
わかりやすい説明ありがとうございました。

お礼日時：2002/09/13 21:03

No.9 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/13 19:59

地球の衛星となる速度（第一宇宙速度）が約８ｋｍ／ｓ、地球の引力を振る切る速度（第二宇宙速度）が約１１ｋｍ／ｓなので、その差は約３ｋｍ／ｓ。

：

仮定からもうすでにほとんど静止衛星となっている状態です
すでに述べたように問題は（追加速度＋自転速度）が脱出速度を超えない場合には
追加速度が水平方向でない限り限り同じ場所に同じ角度で戻ってくるので地球内部が楕円軌道に含まれることです

ちなみに垂直方向でなく水平方向にわずかでも速度を持てば衛星になれます　

この回答へのお礼

「同じ角度でもどってくる」というのはＮｏ.６の回答に矛盾しませんか。それとも、ジャンプした時点で、地表面に対して傾いているのでしょうか。

＞ちなみに垂直方向でなく水平方向にわずかでも速度を持てば衛星になれます
なるほど。結局そういうことになりますね。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2002/09/13 22:27

No.10 回答者： nubou 回答日時： 2002/09/14 02:07

地球の自転周波数は人の運動の軌道に影響がないようですが、にもかかわらず、地表面に戻ってくるときの角度が自転周波数に影響されるのはなぜでしょうか。

：

もちろん自転周波数は影響しています
｜ｖ０｜＝√（ｖｈ＾２＋（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
｜ｒ０｜＝Ｒ
ですから
√（２・Ｇ・Ｍ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）＜ｖｈならば
双曲線を描いて飛んでいき帰ってこない
ｖｈ＝√（２・Ｇ・Ｍ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）ならば
放物線を描いて飛んでいき帰ってこない
ｖｈ＜√（２・Ｇ・Ｍ－（２・π・ｆ・Ｒ）＾２）
楕円を描いて飛んでいき楕円を描いて帰ってきたとき地表面にぶつかる
つまり地球の自転は初速｜ｖ０｜の水平成分を生み出しますから関係します

地表面に対して傾いて降りているのでしょうか。：
垂直上空に飛んでも人の初速度は慣性系からみれば自転による速度と上方に飛ぶときの速度とのベクトル和になります
地表にいる観測者には上空に飛んだように見えますが地球を見ている慣性系の観測者には地球表面から斜めに飛んだように見えます

これがコリオリの力なのですか。：
コリオリの力は見かけの力です
今立てている方程式は慣性系から見た方程式を立てているのです
普通方程式を立てるのは慣性系から立てます
そうしないとさまざまな見かけの力にだまされるからです
もっとも加速度系から立てたほうが簡単になる場合もあり加速度系から式を立てる場合もあります

地面にいるときは無重力でありながら、ジャンプすると今の地球上でジャンプしたのと同じになるわけですね。：

違います今回のケースで飛ぶと人間の弱い力の場合地球がほぼ一周するまで落ちてきません
そしてほぼ同じ地面に落ちてきます
つまり地上の観測者には長い間浮いたように見えます
脱出速度に近い超人的な力でけると地球が慣性系から見ると地球の反対側に到達しますが落ちるまでの時間は非常に長くどの地表に落ちるかは飛ぶ速さに依存します
地上から見ると非常に高く上昇し見えなくなりどこに落ちるのかわかりません

「同じ角度でもどってくる」というのはＮｏ.６の回答に矛盾しませんか。それとも、ジャンプした時点で、地表面に対して傾いているのでしょうか。：

まったく矛盾しません
すでに回答してますが
地球をすり抜けることができると仮定した場合に
慣性系から見て人が帰ってきたとき同じ場所・同じ速度（速さ＋角度）になっているのです
慣性系から見た角度と地面から見た角度が異なることは分かると思いますが
力学では常に慣性系から物事を考えるのが普通です

この回答へのお礼

どうもすみませんでした。
かなり思い違いをしていました。まだ、慣性系と加速度系の区別がついてないようです。このような仮定における地球上に住んでいたらどうなるだろうかということを考えるあまり、どの系を使っているのか頭の中でごちゃごちゃになっていたようです。
しかし、かえっていろいろな疑問が消えてよかったです。ありがとうございました。

お礼日時：2002/09/14 18:40