3×3行列Aについて
A=
|0 1 1|
|1 0 1|
|1 1 0|
を対角化せよという問題で
まず
Φa(t)=
|-t 1 1|
|1 -t 1|
|1 1 -t|
より固有値はλ=-1(重解),2
となります。
このあとなのですが、固有ベクトルを求めるときにどちらから先に求めればいいのでしょうか?
実は先にλ=-1の固有ベクトルを求めると
A+E=
|-1 1 1|
|1 -1 1|
|1 1 1|
=
|1 1 1|
|0 0 0|
|0 0 0|
α,β(≠0)として
x=αt[-1 1 0] + βt[-1 0 1](tは転置行列を表しています。)
同様にλ=2のときにはγ(≠0)として
x=γt[1 1 1]
以上から固有空間は
V(-1) = {αt[-1 1 0]}+{βt[-1 0 1]}
V(2) = {γt[1 1 1]}
dimV(-1) + dimV(2) = 3であるから対角化可能で
固有ベクトルを列にもつ行列をPとして
P=
|-1 -1 1|
|1 0 1|
|0 1 1|
しかし答えには先に固有値λ=2の固有ベクトル先に求めて
x = αt[1 1 1]
x = βt[-1 1 0] + γt[-1 0 1]
として対角化を
P=
|1 -1 -1|
|1 1 0|
|1 0 1|
となっているのですが、自分の求めた方法では答えは間違っているのでしょうか?
固有空間から対角化するプロセスが間違っているのでしょうか?
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