3行3列の行列の三角化（訂正）

1回同じ質問をしたのですが、訂正があったのですが訂正の方法が分からないのでもう一度書きます。

大学１年で線型代数を習っているのですが、
３行３列の三角化の方法がいまいちよく分かりません。
たとえば行列A=
　３　　１　 －１
－１　　０　　３
－１　－２　　５
を三角化せよという問題で、
まず固有多項式＝０が実数解を持つことを調べて、次にその解である固有値を求め（固有値は2，3、3は重解）、次にすべての固有値とその重複度についてdimKer(A-ｔE)＝ｍであることを調べます。（ｔ：固有値　ｍ：重複度）
計算すると、Ker(A-2E)=[-1,2,1]・R（≡ｐ１ベクトルとおく　）　
Ker(A-3E)=[0,1,1]・R（≡ｐ２ベクトルとおく）　　（R:実数）
この場合はdimKer(A-ｔE)＝ｍは成り立たないので対角化ができません。
ここまでは分かりますが次がよく分からないです。
三角化する正則行列Ｐを求めるのに、
（Ｐ＝[p1ベクトル　p2ベクトル　p3ベクトル]）
｛（Ａ－３Ｅ）＾２｝ｘベクトル＝０ベクトルを解く。
（Ｅ：単位行列）
となっているのですがなぜこのような式が出てくるのかが分かりません。答えでは上の式からP３ベクトルを出し、三角化してるようなのですが・・・
ご回答よろしくお願いいたします。

No.2 ベストアンサー 回答者： age_momo 回答日時： 2008/01/22 12:18

｛（Ａ－３Ｅ）＾２｝ｘp3ベクトル＝０ベクトル

（Ａ－３Ｅ）ｘ｛（Ａ－３Ｅ）ｘp3ベクトル｝＝０ベクトル
ここで（Ａ－３Ｅ）ｘp2ベクトル＝０ベクトル　より
（Ａ－３Ｅ）ｘp3ベクトル＝p2ベクトル
Ａｘp3ベクトル＝p2ベクトル+３*p3ベクトル
ＡｘＰ＝[２*p1ベクトル　３*p2ベクトル　p2ベクトル+３*p3ベクトル]
=Ｐｘ
２　０　０
０　３　１
０　０　３

∴Ｐ^-1ＡＰ=
２　０　０
０　３　１
０　０　３


ｋ　１
０　ｋ

のような形をした行列を2重対角行列といいます。
対角行列と2重対角行列、回転行列の複合系を
Jordan標準形といいます。これの良さはべき乗してみれば
分かります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
この解答を熟読したところ理解できました。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2008/01/22 17:14

No.1 回答者： tinantum 回答日時： 2008/01/22 03:13

もう眠いので簡略に答えますが，（上）三角化の中でも特別なJordan標準形を求めてのだと思います．

「一般固有空間」と「Jordan標準形」というキーワードで探してみてください．補足してほしければ後日補足します．

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
Jordan標準形というのはちょっと抽象的で意味が分かりにくかったのでこの解答に関して補足して頂ければ幸いです。

お礼日時：2008/01/22 09:40