[数列] 単調増加の示し方

数列｛n-1/n+1｝n=1,2,3,・・・は、有界な単調数列であるか？
理由と共に、単調な場合には、単調増加であるか単調減少であるかについても述べよ。

という問題ですが、単調増加であることは判るのですが、
どのようにもっていけばよいかわかりません。
もし宜しければ、方向性を教えて頂けないでしょうか？

No.1 回答者： muttysatty 回答日時： 2008/02/14 19:40

単調増加であること

n-1/n+1 - (n-1)-1/(n+1)-1
=(n(n-1)-(n+1)(n-2))/n(n+1)
=2/n(n+1) > 0

有界であること
n →　∞　　
n-1/n+1　= (1-1/n)/(1+1/n)→ 1
and
1 - n-1/n+1　= 2 / n+1 > 0

この回答へのお礼

muttysattyさん、ありがとうございます。
なるほど、このように証明するのですね！参考になりました。

お礼日時：2008/02/14 20:24

No.2 回答者： zk43 回答日時： 2008/02/14 19:51

(n-1)/(n+1)=(n+1-2)/(n+1)=1-2/(n+1)

であるから1より小さく、2/(n+1)は単調減少だから、-2/(n+1)は単調
増加、1-2/(n+1)も単調増加。
1より小さいのは、分子の方が分母よりも2小さいことからもすぐに分かる。

この回答へのお礼

zk43さん、早速のお返事ありがとうございました。
方向性がわかりました！

お礼日時：2008/02/14 20:26