星（★）の角度

星（★）のそれぞれとがっている所の角度を、全部たすと180度になると思うのですが、180度であることを証明するには、どのようにして証明すればいいのでしょうか？
中学校の入試問題らしいんですが、全然わかりません。
答えをご存知のかた、教えてください。お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： TK0318 回答日時： 2002/10/24 23:03

図が書ければ一発で終わるのですが＾＾；

星の頂点を上をＡとして右回りに順にＢ～Ｅとおきます。
また付け根の部分をＡとＢの間の部分をＦとして同様にＧ～Ｊとします。
　　　　Ａ
　　ＥＪ　ＦＢ
　　　Ｉ　Ｇ
　　　　Ｈ
　　　Ｄ　Ｃ
となります。
ＦＧ、ＧＨ・・・ＪＦに線を引きます。
三角形ＦＣＥを考えると
∠ＦＣＥ＋∠ＦＥＣ＝∠ＡＦＥ
三角形ＢＤＪを考えると
∠ＢＤＪ＋∠ＤＢＪ＝∠ＢＪＡ
三角形ＡＦＪを考えると
∠ＡＦＪ＋∠ＦＪＡ＋∠ＪＡＦ＝頂点の５角度＝１８０度

この回答へのお礼

わかってきました！三角形２つにわけて考えればいいんですね。
ABC…って、図のように書いてくださってありがとうございます(^o^)

お礼日時：2002/10/25 00:10

No.6 回答者： puni2 回答日時： 2002/10/26 01:18

きちんとした証明はすでに出ていますので，直感的な「説明」。

みなさん同様に，とんがった点をそれぞれA～Eとします。
そして，点Dから点Aの方向に向けて，鉛筆を置きます（べつにペンでも矢でもかまいません。要するに「矢印」っぽいもの）。
このとき，鉛筆の長さはなるべく長めのものがいいでしょう（線分DAよりも長いほうが分かりやすい）。
ここまでが準備です。

さて，今からこの鉛筆を，5個ある頂点のそれぞれの内角の角度ずつ，回して行きます。
まず，D点を中心として，鉛筆を∠ADBと同じだけ回すと，Dのところに鉛筆のお尻を置いて，先端をAの方向から時計周りに回して，Bの方向に向けることになります。
次に，∠EBDと同じだけ回します。今度はB点を中心として回します。すると，鉛筆のお尻がDのほうからEのほうに回り，鉛筆はEからBのほうを向きます。
次に，∠BECと同じだけ回します。今度はE点を中心として回します。すると，鉛筆の先端がBのほうからCのほうに回り，鉛筆はEからCのほうを向きます。
次に，∠ACEと同じだけ回します。今度はC点を中心として回します。すると，鉛筆のお尻がEのほうからAのほうに回り，鉛筆はAからCのほうを向きます。
最後に，∠DACと同じだけ回します。今度はA点を中心として回します。すると，鉛筆の先端がCのほうからDのほうに回り，最終的に鉛筆はAからDのほうを向きます。

というわけで，最初はDからA方向を向いていたものが，少しずつ時計周りに回転して行って，最後にはAからDの方向を向きましたね。
言葉で説明すると冗長になってしまいますが，実際に試してみると，180°回ったことがすぐに分かります。

ところで，No.5:
>二次方程式を使えば解けました。
二元（連立）方程式ではないでしょうか？
もっとも中学入試の解答としては，方程式を極力使わないように証明すべきでしょうが。

No.5 回答者： nozomi500 回答日時： 2002/10/24 23:50

図が書けないので説明しづらいのですが、とりあえず、三角形に分けて考えてみては？

中央の五角形を含む大きな三角形と、外の部分だけの小さな三角形３つ。
外角や補角をつかうと、うまく「大きな三角形」に押し込むことができますから、１８０度。

＞…ところで、五角形の頂角の和が５４０度っての、
＞どうやって証明しましょうか？(^^;
これって、三角形３つに分割すれば、すぐですね。

No.4 回答者： minotaka 回答日時： 2002/10/24 23:15

二次方程式を使えば解けました。

とがってるところをｘにし、適当なところをｙにして二次方程式作れば解けると思います。

No.3 回答者： nobunojo 回答日時： 2002/10/24 23:12

証明する、と言っても、

どのレベルから証明すればいいのかがわからないのですが…。

とりあえず、正五角形の内角の我が５４０度、
ということを自明の理としていいのであれば、
だいたい次のように説明できますね。
図を書きながら確かめて見ましょう。

まず、正五角形の角にＡＢＣＤＥと名前をつけます。
ＡＣに１本対角線を引き、三角形ＡＢＣを作ります。
このとき、できた二等辺三角形ＡＢＣの頂角Ｂの角度は
５４０÷５＝１０８度、
残り二つの角ＢＡＣ、角ＢＣＡの角度はいずれも
(１８０－１０８)÷２＝３６度です。
つぎに、対角線を同じ角からもう１本ＡＤを引き、
三角形ＡＤＥを作ったとき、
角ＤＡＣの角度も同じように３６度です。

角ＥＡＢは五角形の頂点ですから１０８度ですが、
角ＥＡＢは角ＢＡＣと角ＤＡＣと角ＣＡＤの和です。
このとき角ＢＡＣも角ＤＡＣも３６度ですから、
残った角ＣＡＤは１０８－３６－３６＝３６度です。
この角ＣＡＤが、星型(五芒星、☆)のとんがった角にあたり、
これが５つあるのですから３６×５＝１８０、となります。

…ところで、五角形の頂角の和が５４０度っての、
どうやって証明しましょうか？(^^;

No.2 回答者： gtozeki 回答日時： 2002/10/24 23:03

これは「２つの内角の和はそのとなりにない外角の大きさに等しい」を使うといいですね。

★のそれぞれとがっている角度を×とします。
それからその図形内にある三角形のうち×２つ使うとその和が外角になり、××の大きさになります。そう考えると、出っ張っている小さな三角形は×５つ分の大きさになります。すなわち×５つで１８０度。
★も×５つですね。つまりこれで証明完了です。
コレを上手に証明してください。

この回答へのお礼

２つの内角の和は、そのとなりにない外角の大きさに等しい
って事をすっかり忘れてしまってました。ありがとうございました。

お礼日時：2002/10/25 00:14