fが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数はf～a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx)

こんにちは。下記の問題でつまづいてます。

[問] f∈R[-π,π](R[π,-π]は[π,-π]でリーマン積分可能な関数の集合)とする。
(1) もし,fが[-π,π]で偶関数の時,fのフーリエ級数は
f～a_0/2+Σ[n=1..∞]a_ncos(nx) (但し,a_n=2/π∫[0..π]f(x)cos(nx)dx,n=1,2,…)
(2) もし,fが[-π,π]で奇関数の時,fのフーリエ級数は
f～Σ[n=1..∞]b_nsin(nx) (但し,b_n=2/π∫[0..π]f(x)sin(nx)dx,n=1,2,…)

[解]
f(x)はf(x)=a_0/2+Σ[n=1..∞](a_ncos(nx)+b_ksin(kx))と表せ。
b_k=1/π∫[-π..π]f(x)sin(kx)dx=1/π∫[-π..π]f(-x)sindx
偶関数の定義からf(x)=f(-x)を使って,
このb_kの値が0となる事を言いたいのですがこれからどのように変形できますでしょうか?

No.1 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2008/04/25 08:36

　　g(x) = f(x)*sin(x)

と置くと、
f(x)=f(-x)ならば、
　　g(x) = f(x)*sin(x) = -f(-x)*sin(-x) = -g(-x)
すなわち、fが偶関数ならばgは奇関数。
よって
　　∫[-π,π]{g(x)} = 0

この回答へのお礼

有難うございました。
お陰様でやっと証明できました。＼(＾o＾)／

お礼日時：2008/04/26 08:36