数学的帰納法によって、
f (n) = n ! / n ^ n は、 0 < f (n) ≦ 1 / n ・・・(a)
を証明しようとしています。
[1] n = 1 のとき、 f (1) = 1 となり、(a)は成り立つ。
[2] n = k のとき、(a)が成り立つと仮定すると
0 < f (k) = k ! / k ^ k ≦ 1 / k
すると、n = k + 1 のとき、
・・・
この部分なのですが、
f ( k + 1 ) = k ! ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ^ ( k + 1 )
分子の部分は、( k + 1) ! となります。
ところが、分母の部分を n = k の式からうまく関連付けて
(a)の不等号式が成り立つことへ導くことができません。
ご教授頂けませんでしょうか?
よろしくお願いします。
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
n = k のとき、(a)が成り立つと仮定すると
0 < f (k) = k ! / k ^ k 1 / k
すると、n = k + 1 のとき、
f ( k + 1 ) = k ! ( k + 1 ) / ( k + 1 ) ^ ( k + 1 )
次は、分母分子から(k+1)を消して
f ( k + 1 ) = k ! / ( k + 1 ) ^ k
= k ! / k^k × k^k/( k + 1 ) ^k
≦ 1/k × k^k/( k + 1 ) ^k
= k^(k-1)/{( k+1 ) ^(k-1)}×1/(k+1)
ここで、
k^(k-1)/{( k+1 ) ^(k-1)}<1であるので、
f ( k + 1 )≦1/(k+1)となる。
No.1
- 回答日時:
f ( k + 1 ) = f(k) ・ { (k + 1) ・ k^ k / ( k + 1 ) ^ ( k + 1 ) }
f ( k + 1 ) = f(k) ・ { k / (k + 1)}^k
k / (k + 1) < 1
だから
k >= 1の時
{ k / (k + 1)}^k <= k / ( k + 1)
よって
f(k + 1) = f(k) ・ { k / (k + 1)}^k <= (1 / k) ・ { k / (k + 1)}^k <= (1 / k) ・{ k / ( k + 1) } = 1 / (k + 1)
以下略
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